K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
10 tháng 7 2017
( ab + bc + ca )^2 = a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2 + 2abc( a + b + c )
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc.0 ( vì a + b + c = 0)
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
LB
1
BD
4 tháng 6 2016
a)Sắp xếp:a\(\ge\) b\(\ge\) c\(\ge\) 0
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)
=a(a-b)[(a-b)=(b-c)]-b(a-b)(b-c)=c(a-c)(b-c)
=a(a-b)2+a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)
=a(a-b)2+(b-c)(a-b)2+c(a-c)(b-c)\(\ge\) 0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 10 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2=[a(a+b+c)][(a+b)(a+c)]+b^2c^2\)
\(=(a^2+ab+ac)(a^2+ab+ac+bc)+b^2c^2\)
\(=(a^2+ab+ac)^2+bc(a^2+ab+ac)+b^2c^2\)
Đặt \(a^2+ab+ac=x; bc=y\) thì:
\(A=x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\)
Vì \((x+\frac{y}{2})^2\geq 0, y^2\geq 0\Rightarrow A\geq 0\)
Ta có đpcm.
MM
1
10 tháng 6 2017
a,\(a^2\ge0;b^2\ge0=>a^2+b^2\ge0\)
b, \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge a< =>a^2+b^2\ge2a?\) ( đề sai )
c, \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) ( hiển nhiên đúng )
\(=>đpcm\)
d, Câu này cho thêm đk a,b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương a , b
\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương 1/a , 1/b có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\left(2\right)\)
Nhân theo vế của (1) ,(2) có : \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\)
\(=>đpcm\) .
ND
29 tháng 4 2018
Bài 1:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\) với a,b,c > 0
Áp dụng BĐT Chauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=c\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge c\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}=2c\)
\(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=a\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\ge a\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}=2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}=b\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge b\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2b\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
DA
1
KN
19 tháng 7 2020
Theo BĐT AM - GM, ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\)\(=\frac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
=(a2+ac+ba+bc)(a2+ab+ac)+b2c2
=(a2+ab+ac)2+bc(a2+ab+ac)+b2c2 (2)
Đặt m=a2+ab+ac và n=bc
(2) viết lại thành : m2+mn+n2 = m2+2*m*n/2+n2/4+n2*3/4
\(=\left(m+\frac{n}{2}\right)^2+\frac{3n^2}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)