Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,\)
\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)
Với \(n=k+1\)
\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)
Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)
Với \(n=k+1\)
\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)
Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(1,\)
\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)
Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)
\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)
Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)
a) \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{b^2}{2}}=2ab\)
c)\(a\left(a+2\right)=a^2+2a< a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\)
TOÀN BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN. TỰ LÀM NỐT NHÉ. NHỚ BẤM ĐÚNG CHO MÌNH
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
Câu b :
Ta có :
\(a+b+c=abc\)
\(\Leftrightarrow1=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\)
\(\Leftrightarrow2=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow4=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) \(+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)
\(\)\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2=4\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\left(đpcm\right)\)
a,\(a^2\ge0;b^2\ge0=>a^2+b^2\ge0\)
b, \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge a< =>a^2+b^2\ge2a?\) ( đề sai )
c, \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) ( hiển nhiên đúng )
\(=>đpcm\)
d, Câu này cho thêm đk a,b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương a , b
\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương 1/a , 1/b có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\left(2\right)\)
Nhân theo vế của (1) ,(2) có : \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\)
\(=>đpcm\) .
caí này thì mấy bước đây