UN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QA
0
TK
0
16 tháng 9 2023
Trước tiên ta cần chứng minh : Với a<b thì : \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\) với c là số nguyên dương.
\(\Leftrightarrow a.\left(b+c\right)< b.\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ac< bc\)
\(\Leftrightarrow a< b\left(LĐ\right)\)
Áp dụng bổ đề đó ta có : \(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)
\(CMTT:\dfrac{b}{c+a}< \dfrac{2b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)
Do đó : \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Lời giải:
Vì $b+c> a\Rightarrow 2(b+c)> a+b+c$
$\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}$
$\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}(1)$
Hoàn toàn tương tự ta có:
$\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}(2)$
$\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}(3)$
Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
Ta có đpcm.
8 tháng 3 2023
a, BQ là đường phân giác của góc B
=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}\) ( 1 )
CP là đường phân giác của góc C
=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\) ( 2 )
Mà tam giác ABC cân tại A
= > \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( 3 )
Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) = > \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
Xét tam giác OBC có :
\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) ( cmt )
= > Tam giác OBC cân tại O
b, Do O là giao của 2 đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC
nên O là trực tâm của tam giác ABC hay điểm O cách đều 3 cạnh AB,AC, BC của tam giác ABC
c, Do O là trực tâm của tam giác ABC ( câu b, )
Mà tam giác ABC cân tại A
= > AO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC tức là AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC
d, Xét \(\Delta QBC\) và \(\Delta PCB\) có :
\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)
BC chung
\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)
=> \(\Delta QBC=\Delta PCB\left(g-c-g\right)\)
= > CP = BQ ( 2 cạnh tương ứng )
e, Do tam giác QBC = tam giác PCB ( câu d, )
=> BP = CQ ( 2 cạnh tương ứng )
\(P\in AB\)
= > AP + PB = AB
= > AP = AB - PB ( 4 )
\(Q\in AC\)
= > AQ + QC =AC
= > AQ = AC - QC ( 5 )
Từ ( 4 ) , ( 5 )
= > AP = AQ
Xét tam giác APQ có :
AP = AQ ( cmt )
= > Tam giác APQ cân tại A ( đpcm )
NQ
Nguyễn Quang Đạt
VIP
20 tháng 4 2023
a) cân tại nên .
Vì và là đường phân giác của nên , .
Do đó .
Suy ra cân tại .
b) Vì là giao điểm các đường phân giác và trong nên là giao điểm ba đường phân giác trong .
Do đó, cách đều ba cạnh và .
c) Ta có cân tại là đường phân giác của góc nên đồng thời là trung tuyến và đường cao của .
Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với nó.
d) Ta có (g.c.g)
(hai cạnh tương ứng).
e) Ta có , (1);
(2).
Lại có (tam giác cân tại ) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
Vậy tam giác cân tại .
TN
4 tháng 9 2017
Theo đề ta có :
\(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}\)
* Đầu tiên, ta xét
* \(\frac{b}{a-c}=\frac{a}{b}\):
\(\Rightarrow b^2=a\left(a-c\right)\) \(=a^2-ac\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=ac\)(1)
* Xét \(\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)b=ac\)
. Từ (1) ta thay \(ac=a^2-b^2\):
\(\Rightarrow\)\(\left(a+b\right)b=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)b=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow b=a-b\Rightarrow a=b+b=2b\)(2)
* Xét \(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}\):
\(\Rightarrow bc=\left(a-c\right)\left(a+b\right)\)(với a = 2b)
\(\Rightarrow bc=\left(2b-c\right)\left(2b+b\right)\)
\(\Rightarrow bc=\left(2b-c\right).3b\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{b}=\frac{\left(2b-c\right).3b}{b}\)
\(\Rightarrow c=\left(2b-c\right).3\)
\(\Rightarrow c=6b-3c\)
\(\Rightarrow6b=c+3c=4c\)(3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\)ta có :
\(a=2b\) và \(6b=4c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{4}\)và \(\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)(đpcm)
4 tháng 9 2017
\(\frac{b}{a-c}=\frac{a+b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{b+\left(a+b\right)+a}{a-c+c+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=2\Leftrightarrow a=2b;\frac{a+b}{c}=2\Leftrightarrow a+b=2c\Leftrightarrow2b+b=2c\Leftrightarrow3b=2c\)
Ta có: \(\frac{a}{8}=\frac{2b}{8}=\frac{b}{4};\frac{c}{6}=\frac{2c}{12}=\frac{3b}{12}=\frac{b}{4}\)
=> \(\frac{a}{8}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}\)