K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
LB
2
10 tháng 10 2021
1, Áp dụng BĐT cosi cho a,b,c>0
\(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\\ bc+ca\ge2\sqrt{abc^2}=2c\sqrt{ab}\\ ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)
Cộng VTV 3 BĐT trên:
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge2\left(b\sqrt{ac}+a\sqrt{bc}+c\sqrt{ab}\right)\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
10 tháng 10 2021
\(2,\)
Ta có
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cm ở câu 1
Suy ra đpcm
PT
1
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
\(\dfrac{a}{a^4+b^2}+\dfrac{b}{a^2+b^4}\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^4b^2}}+\dfrac{b}{2\sqrt{a^2b^4}}=\dfrac{a}{2a^2b}+\dfrac{b}{2ab^2}=\dfrac{1}{ab}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
8 tháng 10 2016
Ta có a3 + b3 - ab(a + b) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a2 - ab + b2 - ab)\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a - b)2 \(\ge0\)(đúng)
Vậy cái ban đầu là đúng
KF
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
LM
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2021
** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái màn hình) để đề trông rõ ràng hơn $\Rightarrow$ khả năng được giải đáp cao hơn.
Sửa đề: CMR $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}=\frac{a^4+b^4}{ab}$
$\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2ab}\geq \frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}=a^2+b^2(1)$
Mà:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$a^2+b^2\geq 2ab$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2)+2\geq 2(a+b+ab)=6$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(2)$
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^3}{b}+b+1\geq 3a$
$\frac{b^3}{a}+a+1\geq 3b$
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+ab\geq 3ab$
Cộng theo vế:
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+(a+b+ab)+2\geq 3(a+b+ab)$
$\Leftrightarrow 2(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+3+2\geq 9$
$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
26 tháng 5 2018
Áp dụng bđt AM-GM: \(\dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\dfrac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{ab}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\)
Bài làm:
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+4ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) (luôn đúng)
=> đpcm