Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương.
Giải: Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t (t ∈ Z) thì
A = (t - y2)(t + y2) + y4 = t2 - y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z => (x2 + 5xy + 5y2) ∈ Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Giải: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
a, 3n + 2 - 2n + 2 + 3n - 2n
= 3n(32 + 1) - 2n(22 + 1)
= 10.3n - 5.2n
= 10.3n - 10.2n - 1
= 10(3n - 2n - 1) chia hết cho 10
b, S = abc + bca + cab
= 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
= 111a + 111b + 11c
= 111(a + b + c)
= 3.37(a+b+c)
giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số nguyên tố 37 với số mũ chẵn trở lên
=> 3(a + b + c) chia hết cho 37
=> a + b + c chia hết cho 37
vì a;b;c là chữ số => a + b + c lớn nhất = 27
=> vô lí
vậy S không là số chính phương
\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
= \(3^{n+2}+3^n-2^n-2^{n+2}\)
=\(\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^n-2^{n+2}\right)\)
= \(\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n+2^n.2^2\right)\)
= \(3^n.\left(3^2+1\right)-2^n.\left(1+2^2\right)\)
=\(3^n.10-2^{n-1}.5.2\)
= \(3^n.10-2^{n-1}.10=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)\)chia hết cho 10
suy ra \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) chia hết cho 10
Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)
Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.
1 / Ta chứng minh phản chứng
Giả sử tồn tại a thoả mãn a không phải là số chính phương và căn a là số hữu tỉ ( không vô tỉ thì hữu tỉ chứ còn gì :v )
Tức là căn a biểu diễn dưới dạng m/n ( với m, n là số nguyên, n khác 0 )
căn a = m/n GCD ( m,n ) = 1 ( ước chung lớn nhất của m, n là 1 hay m/n là phân số tối giản )
suy ra a = (m/n)^2 (*)
1/ Giả sử a là số nguyên tố
m^2 = a x n^2
Suy ra m^2 chia hết cho a
mà a là số nguyên tố
suy ra m chia hết cho a
Suy ra m có dạng a x k
Thay vào (*) được a = ((a x k) / n)^2
Suy ra (a x k)^2 = a x n^2
Suy ra a k^2 = n^2
Suy ra n^2 chia hết cho a
Suy ra n chia hết cho a
Vậy m,n cùng chia hết cho a, trái với giả thiết GCD (m,n) = 1. Tức là không tồn tại a
2/ a không phải là số nguyên tố
Tức là a = p x q ( p là số nguyên tố, q là số nguyên dương )
p x q = (m/n)^2
Hay m^2 = p x q x n^2
Đến đây lại suy ra m^2 chia hết cho p nguyên tố
Quay lại chứng minh tương tự như phần 1 ( coi p như a là ổn )
Ta có: (2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2(2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2.
Do đó để (2x+3y)2+5x+5y+1(2x+3y)2+5x+5y+1 là số chính phương thì (2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y(2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y.
Vậy x = y
-game là dễ
Ta có: (2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2(2x+3y)2<(2x+3y)2+5x+5y+1<(2x+3y+2)2.
Do đó để (2x+3y)2+5x+5y+1(2x+3y)2+5x+5y+1 là số chính phương thì (2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y(2x+3y)2+5x+5y+1=(2x+3y+1)2⇔x=y.
Vậy x = y
Giả sử \(\sqrt{a}\) là một số hữu tỉ thì \(\sqrt{a}\)=\(\frac{m}{n}\) với (m,n)=1
Khi đó \(a^2=\frac{m^2}{n^2}\)
Vì a là số tự nhiên nên \(m^2⋮n^2\)
hay là \(m⋮n\) ( trái với điều kiện (m,n)=1)
=> ĐPCM
Giả sử √aa là số hữu tỉ .
Đặt √a=pqa=pq (p; q ∈∈ N; q khác 0 và (p;q) = 1)
=> a=p2q2a=p2q2 => a.q2 = p2
Vì p2 là số chính phương nên a.q2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Điều giả sử sai
Vậy √aa là số vô tỉ
Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)
Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.
Trả lời:
+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)
\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)
+ Vì a không là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)
\(\Rightarrow n>1\)
+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow m^2=an^2\)
+ Vì \(n>1\)
\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p
Mà\(n\inℕ\)
Mà\(m^2=an^2\)
\(\Rightarrow m⋮p\)
\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)
\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai
\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)
Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.
Hok tốt!
Good girl
Kudo Shinichi gì mà ngu thế