Question

[Vũ Thị Hà Vy]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a,b thì:ab(a²-1)(b²+2) chia hết cho 9

giúp mình vs mình đang vội

Answer 1

[kiều đức gia bảo]

Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.

Chứng minh:

Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2⋮3$ (dư $0$)

Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$ 

$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1{)}^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$

Vậy ta có đpcm

-----------------------------

Áp dụng vào bài:

TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)⋮9$

TH1: Nếu $a⋮3,b/⋮3$

$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow b^2+3⋮3$

$\Rightarrow a(b^2+3)⋮9$

$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)⋮9$

TH3: Nếu $a/⋮3;b⋮3$

$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2⋮3$

$\Rightarrow b(a^2+2)⋮9$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)⋮9$

TH4: Nếu $a/⋮3;b/⋮3$

$\Rightarrow a^2,b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2⋮3;b^2+2⋮3$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)⋮9$

đây bạn