Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt A=\(n^4-n^2\)
\(=n^2\left(n^2-1\right)\)
\(=n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\cdot n\)
Vì \(n;n-1;n+1\) là ba số nguyên liên tiếp
nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!=6\)
=>\(A=n\cdot n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
=>\(A=n^4-n^2⋮12\)
TH1: n=2k
\(A=n\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)\cdot n\)
\(=2k\cdot n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
=>\(2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\cdot6=12\)
=>\(A⋮12\)(1)
TH2: n=2k+1
\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\cdot n\)
\(=\left(2k+1\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\cdot\left(2k+1\right)\)
\(=2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)\cdot\left(2k+1\right)\)
\(=4k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\cdot\left(2k+1\right)\)
Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp
nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)
=>\(4k\left(k+1\right)⋮4\cdot2=8\)
=>\(A=4k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\)
mà \(A⋮6\)
nên \(A⋮BCNN\left(6;8\right)=24\)
=>A chia hết cho 12(2)
Từ (1),(2) suy ra \(A⋮12\forall n\in N\)
n2+n+2 = n(n+1)+2
n sẽ có dạng n=3k; n=3k+1; n=3k+2 (k\(\in Z\))
n=3k => n(n+1) = 3k(3k+1) chia hết cho 3 nên 3k(3k+1)+2 không chia hết cho 3
n=3k +1 => n2+n+2= (3k+1)2 +3k+3; dế thấy 3k+3 chia hết cho 3 nhưng (3k+1)2 không chia hết cho 3 nên n2 +n+2 không chia hết cho 3
n=3k+2 => n(n+1) = (3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1) chia hết cho 3 nên (3k+2)(k+3)+2 không chia hết cho 3
vậy với mọi n đều không chia hết
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên
2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra
n+1≡1(mod8)⇒n⋮8
Lại có
(n+1)+(2n+1)=3n+2
Ta thấy
3n+2≡2(mod3)
Suy ra
(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên
n+1≡2n+1≡1(mod3)
Do đó: n⋮3
Vậy ta có đpcm.
Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24
Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ
⇒2n+1=1(mod8)⇒2n+1=1(mod8)
=> n ⋮⋮ 4
=> n chẵn
=> n+1 cũng là số lẻ
⇒n+1=1(mod8)⇒n+1=1(mod8)
=> n ⋮⋮ 8
Mặt khác :
3n+2=2(mod3)3n+2=2(mod3)
⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ
⇒n+1=2n+1=1(mod3)⇒n+1=2n+1=1(mod3)
=> n chia hết cho 3
Mà ( 3 ; 8 ) = 1
=> n chia hết cho 24
Bạn tham khảo: !!!
Giả sử n2 và n là số lẻ
Ta có n2 = n.n
Vì n lẻ nên n.n là số lẻ
=> n2 lẻ (trái giả thiết)
Vậy n2 lẻ thì n lẻ
bài còn lại làm tương tự
1/ Giả sử \(n^2\) là số lẻ nhưng n là một số chẵn.
Khi đó, n = 2k (k thuộc N*)
Ta có : \(n^2=\left(2k\right)^2=4k^2\) luôn là một số chẵn, vậy trái với giả thiết.
Vậy điều phản chứng sai. Ta có đpcm
2/ Tương tự.
Ta có: A=n(n+1)(2n+1)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+2-1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)
hay \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3!\)
hay \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)
\(\Leftrightarrow A⋮6\)
Ta có
n2 + n + 1=(n+2)(n−1)+3
Giả sử n2+n+1 chia het cho 9
=>(n+2)(n−1)+3 chia hết cho 3
=> (n+2)(n-1) chia hết cho 3
Mà (n+2)-(n-1)=3 chia hết cho 3
=>n+2 và n-1 cùng chia hết cho 3
=>(n+2)(n−1) chia hết cho 9
=>n2 + n + 1chia 9 dư 3
=>vô lý
=>đpcm
Có : P = n2 + 2017n = n2 - n + 2028n
Vì 2028n \(⋮12\forall n\)(*)
=> P \(⋮12\Leftrightarrow n^2-n⋮12\)
Vì n chính phương => Đặt n = m2
Khi đó n2 - n = n(n - 1) = m2(m2 - 1) = m2(m - 1)(m + 1)
= m(m - 1)(m + 1)(m - 2 + 2)
= (m - 2)(m - 1)m(m + 1) + 2m(m - 1)(m + 1)
Dễ thấy (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4\)(tích 4 số tự nhiên liên tiếp) (1)
(m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮3\) (tích 3 số nguyên liên tiếp) (2)
mà (4 ; 3) = 1 (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4.3=12\)(4)
Lại có (m - 1)m(m + 1) \(⋮6\) (cùng chia hết cho 2 ; 3)
=> 2(m - 1)m(m + 1) \(⋮12\) (5)
Từ (4) ; (5) ; (*) => P \(⋮12\)