Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài thiếu giả thiết \(x,y,z\) không đồng thời bằng nhau. Ví dụ lấy \(x=y=z=2\) sẽ thỏa mãn giả thiết nhưng không suy ra được \(xyz=1\).
Đầu tiên ta thấy \(x,y,z>0.\) Từ giả thiết ta có
\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{z}}\to\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{yz}},\)
\(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\sqrt{z}+\frac{1}{\sqrt{x}}\to\sqrt{y}-\sqrt{z}=\frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{\sqrt{zx}},\)
\(\sqrt{z}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{y}}\to\sqrt{z}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\)
Nhân ba đẳng thức lại cho ta \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)}{xyz}\).
Vì ba số không đồng thời bằng nhau nên ta suy ra các sẽ đôi một phân biệt (Vì nếu không chẳng hạn x=y thì y=z do đó cả ba số bằng nhau). Thành thử ta được \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\ne0\) nên \(\frac{1}{xyz}=1\to xyz=1.\)
\(\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Rightarrow z=x+y+2\sqrt{xy}\Rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y}=\sqrt{z}-\sqrt{x}\Rightarrow y=x+z-2\sqrt{zx}\Rightarrow z+x-y=2\sqrt{zx}\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{z}-\sqrt{y}\Rightarrow x=y+z-2\sqrt{yz}\Rightarrow y+z-x=2\sqrt{yz}\)
\(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}=0\)
BĐT <=> \(\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
Khi đó \(a+b+c=1\)
BĐT <=>\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Ta có \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Khi đó \(VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3
BĐT cho tương đương với
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Với \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1\)
Ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}\)
\(=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Từ đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3
b1
lấy 3 cụm cộng lại
trừ đi 1 cụm lập
biến đổi
thì ra