Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: \(a-1;\)\(a;\)\(a+1\)
Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là:
\(A=\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)
\(=3a\left(a^2+1\right)=3a\left(a^2-1+3\right)=3a\left(a^2-1\right)+9a\)
\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)
Nhận thấy: \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3
=> \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)chia hết cho 9; 9a chia hết cho 9
=> A chia hết cho 9
Gọi \(3\) số nguyên liên tiếp lần lượt là: \(\left(a-1\right);a;\left(a+1\right)\)
Chứng minh: \(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\) chia hết cho \(9\).
\(\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3\)
\(=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1\)
\(=3a^3+6a\)
\(=3a\left(a^2+2\right)\)
\(=3a\left(a^2-1\right)+9a\)
\(=3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)
Vì tích của \(3\) số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho \(9\).
Mặt khác \(9a\) chia hết cho \(9\) nên:
\(\Rightarrow3\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+9a\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n-5=a^3\left(1\right)\\n+2=b^3\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a,b\inℤ;a< b\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^3+5\)
Thay vào (2), ta có \(a^3+5+2=b^3\Leftrightarrow b^3-a^3=7\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b^2+ab+a^2\right)=7\)
Vì \(a< b\Leftrightarrow b-a>0\), mà \(\left(b-a\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=7>0\)\(\Rightarrow a^2+ab+b^2>0\)
Ta chỉ xét 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=1\\a^2+ab+b^2=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\a^2+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2=7\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+a+a^2+2a+1=7\)\(\Leftrightarrow3a^2+3a-6=0\)\(\Leftrightarrow a^2+a-2=0\)\(\Leftrightarrow a^2-a+2a-2=0\)\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)
Với \(a=1\) thì \(b=a+1=1+1=2\) (nhận) từ đó \(n-5=a^3=1^3=1\Rightarrow n=6\)
Thử lại: \(n+2=6+2=8=2^3=b^3\) (nhận)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=7\\a^2+ab+b^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+7\\a^2+a\left(a+7\right)+\left(a+7\right)^2=1\end{matrix}\right.\)
Giải phương trình thứ hai, ta được \(a^2+a^2+7a+a^2+14a+49=1\)\(\Leftrightarrow3a^2+21a+48=0\)\(\Leftrightarrow a^2+7a+16=0\)\(\Leftrightarrow4a^2+28a+64=0\)\(\Leftrightarrow\left[\left(2a\right)^2+2.2a.7+7^2\right]+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2+15=0\)\(\Leftrightarrow\left(2a+7\right)^2=-15\) (vô lí)
Vậy ta loại TH2
Do đó để \(n-5\) và \(n+2\) đều là lập phương của 1 số nguyên thì \(n=6\)
Đặt \(13p+1=n^3\left(n\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow13p=n^3-1\)
\(\Leftrightarrow13p=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)
Trường hợp 1: \(n-1=13\forall n^2+n+1=p\)
\(\Leftrightarrow n=14\)
hay \(p=14^2+14+1=196+14+1=211\)(nhận)
Trường hợp 2: \(n-1=p\forall n^2+n+1=p\)
\(\Leftrightarrow n^2+2=13-p\)
\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)^2=11-p\)
\(\Leftrightarrow p=2\)(nhận)
Vậy: \(p\in\left\{2;211\right\}\)
BẠN THỬ HỎI CÂU NÀY TRÊN GOOGLE COI, MÌNH THẤY CÓ ĐÓ.