Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử PT đã cho không có nghiệm nào với mọi số thực $a,b,c$.
Điều này tương đương với các PT con
\((1):ax^2+2bx+c=0; (2):bx^2+2cx+a=0;(3): cx^2+2ax+b=0\)không có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta'_1=b^2-ac< 0\\
\Delta'_2=c^2-ab< 0\\
\Delta'_3=a^2-bc< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b^2-ac+c^2-ab+a^2-bc< 0\)
\(\Leftrightarrow 2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc< 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0\) (vô lý với mọi $a,b,c$ thực)
Vậy điều giả sử là sai. Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1/
a) Δ' = b'2 - ac = (3 - m)2 - (m - 1)(m - 4) = 9 - 6m + m2 - m2 + 4m + m - 4
= 5 - m
Để pt (1) có nghiệm duy nhất thì Δ' = 0 ⇔ 5 - m = 0 ⇔ m = 5
b) Để pt (1) có hai nghiệm x1; x2 thì Δ ≥ 0 ⇔ 5 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5
Áp dụng Vi-et ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-2\left(3-m\right)}{m-1}\\x_1\cdot x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{matrix}\right.\)
Ta có 3(x1 + x2) = 5x1x2 = \(3\cdot\frac{-2\left(3-m\right)}{m-1}=5\cdot\frac{m-4}{m-1}\)
⇔ \(\frac{-6\left(3-m\right)}{m-1}=\frac{5\left(m-4\right)}{m-1}\)
⇔ \(-6\left(3-m\right)=5\left(m-4\right)\)
⇔ \(-18+6m=5m-20\)
⇔ \(m=-2\) (tm)
Vậy với m = -2 thì pt (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3(x1 + x2) = 5x1x2
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)
Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)
=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)
=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm
=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm
Trình bày khác cô Chi chút ạ =))
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)
\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm