K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TP
1
KV
5 tháng 1
Ta có:
n(n + 1)(n + 2)
= (n² + n)(n + 2)
= n³ + 2n² + n² + 2n
= n³ + 3n² + 2n
Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)
⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3
⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3
Ta có:
n³ + 11n
= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n
= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)
Ta có:
3 ⋮ 3
⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)
Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)
⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3
Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n
TP
1
KV
5 tháng 1
Ta có:
n(n + 1)(n + 2)
= (n² + n)(n + 2)
= n³ + 2n² + n² + 2n
= n³ + 3n² + 2n
Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)
⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3
⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3
Ta có:
n³ + 11n
= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n
= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)
Ta có:
3 ⋮ 3
⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)
Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)
⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3
Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n
NT
3
1 tháng 8 2015
Có: \(n^3+3n^2+2n=n^3+n^2+2n^2+2n\)
\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=\left(2n+n^2\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+2\right)\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Có \(n;n+1;n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\)trong đó có một số chia hết cho 3; có ít nhất một số chia hết cho 2
\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho \(2\times3\)
\(\Rightarrow\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)\(n^3+3n^2+2n\)chia hết cho 6
1 tháng 1 2016
Bạn Phạm Trần Minh Ngọc làm thiếu rồi, mình phải có thêm dữ kiện 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nữa mới đủ ~~
26 tháng 10 2022
Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp
nên A chia hết cho 7!
=>A chia hết cho 5040
TT
1
S
2
KV
15 tháng 10 2018
Ta có
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó:
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z).
HM
1 tháng 6 2021
n^3-n^2+2n+7=(n^3+n)-(n^2+1)+n+8=n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8. Để n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8 chia hết cho n^2+1=>8+n chia hết cho n^2+1
Vậy n=2k hoặc 2k+1
Xét TH:n=2k
=>8+n=8+2k(1)
*n^2+1=(2k)^2+1=4k^2+1(2)
Từ (1) và (2) ta có:8+2k chia hết cho 2 mà 4k^2+1 không chia hết cho 2 nên n ko bằng 2k
Xét TH:n=2k+1=>8+n=8+2k+1(3)
*n^2+1=(2k+1)^2+1
n^2+1=(4k^2+1)+(2k+1)(4)
Từ 3 và 4 : muốn 8+n chia hết n^2 +1 thì 8 chia hết cho 4k^2+1
=>4k^2+1 thuộc{-1;+1;-2;+2;-4;+4;-8;8}
các bạn làm từng TH thì sẽ ra k=0 và n=1 và các bạn thế vào đề bài lai để kiểm tra kết quả
22 tháng 7 2023
bài 5:Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
bài 6:a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
bài 7:Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
bài 8:a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
bài 9:a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
bài 10:Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
22 tháng 7 2023
Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
ChatGPT chưa có được câu trả lời, vui lòng quay lại sau
a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.
Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).
a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.
Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.
23 tháng 7 2017
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là a;a+1
Ta có:
tổng là:
\(a+a+1=2a+1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2a⋮2\\1⋮̸2\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow2a+1⋮̸2\rightarrowđpcm\)
n^3-n=n(n^2-1)= n(n-1)(n+1)
vì n, n-1, n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà 2 và 3 ngyên tố cùng nhau
nên n^3-n chia hết cho 6
Đặt n^3 - n là A
Theo bài ra , ta có : A = n^3 - n
A = n( n^2 - 1 )
A = n( n - 1 )( n + 1 )
Ta thấy : n - 1 ; n ; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp => sẽ có một số chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> tương đương cũng sẽ có một số chia hết cho 2 => A chia hết cho 2
mà ( 2 ; 3 ) = 1 => A chia hết cho 6
Vậy n^3 - n chia hết cho 6
( đpcm )