![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)
+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)
+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)
+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)
+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)
+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)
Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)
\(\Rightarrow2b⋮5\)
\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)
Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)
\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)
\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )
Vậy \(a,b,c,d⋮5\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
xét F(-1)=a-b+c\(⋮\)3 (1); xétF(1)=a+b+c\(⋮\)3(2) từ (1) và (2) suy ra a-b+c+a+b+c\(⋮\)3 suy ra 2(a+c)\(⋮\)3 suy ra a+c\(⋮\)3 (3)
xétF(0)=c\(⋮\)3 suy ra a\(⋮\)3 (4) từ (3) và (4) suy ra F(x)=bx\(⋮3\forall\)x nên b\(⋮\)3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)
\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z
b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)
\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(0\right)=c\) mà \(f\left(0\right)⋮2011\Rightarrow c⋮2011\)
\(f\left(1\right)⋮2011\Rightarrow a+b+c⋮2011\Rightarrow a+b⋮2011\)
\(f\left(-1\right)⋮2011\Rightarrow a-b+c⋮2011\Rightarrow a-b⋮2011\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)⋮2011\Rightarrow2a⋮2011\)
Mà 2 và 2011 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow a⋮2011\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a⋮2011\\a+b⋮2011\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b⋮2011\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3^{n+1}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5\)
\(=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10⋮10\)
a^3 + 5a = a^3 - a + 6a
= a( a^2 - 1) + 6a
= a( a-1) ( a+1) + 6a
nhận xét a,( a-1),(a+1) là 3 số nguyên liên tiếp vì a thuộc Z
nên trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà 2 và 3 nguyên tố cung nhau nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 2 x 3 hay chia hết cho 6
vậy a^3 -a chia hết cho 6 mà 6a chia hết cho 6
nên a^3 -a + 6a chia hết cho 6
hay a^3 + 5a chia hết cho 6 ( đpcm)
a^3 + 5a = a^3 - a + 6a
= a( a^2 - 1) + 6a
= a( a-1) ( a+1) + 6a
nhận xét a,( a-1),(a+1) là 3 số nguyên liên tiếp vì a thuộc Z
nên trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà 2 và 3 nguyên tố cung nhau nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 2 x 3 hay chia hết cho 6
vậy a^3 -a chia hết cho 6 mà 6a chia hết cho 6
nên a^3 -a + 6a chia hết cho 6
hay a^3 + 5a chia hết cho 6 ( đpcm)