AN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 9 2016
Từ giả thiết : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz\)
Ta có : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Vì hai vế luôn dương nên ta bình phương hai vế được :
\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\ge\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)
Xét \(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)
\(=\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)
Xét \(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)
\(=xyz+\left(x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Suy ra : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)
\(\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (*)
Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
\(\sqrt{\left(x+yz\right)}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\) (1)
\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)(2)
\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)(3)
Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được (*) đúng
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
10 tháng 7 2019
\(3,\)Áp dụng bđt Mincopski \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)hai lần có
\(VT\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}+\sqrt{z+xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1+2t+t^2}\left(t=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(=\sqrt{\left(t+1\right)^2}=t+1=VP\left(Đpcm\right)\)
10 tháng 7 2019
\(2,\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\left(đpcm\right)\)
25 tháng 12 2016
k=x-1; t=y-1; => k,t>0
<=>
(k^2+2k+1)k+(t^2+2t+1)t>=8kt
k^3+2k^2+k+t^3+2t^2+t>=8kt
co si
\(2k^2+2k^2\ge2\sqrt{2.k^2.2.t^2}=4kt\)
\(k^3+t^3+k+t\ge4\sqrt[4]{k^4.t^4}=4kt\)
đẳng thức khi k^3=t^3=k^2=t^2=k=t=1=> x=y=2
cộng vế với vế
\(VT\ge VP\Rightarrow dpcm\)
NV
0
13 tháng 8 2021
Bổ đề:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Ta có:\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tương tự ta có:\(\dfrac{1}{2y+z+x}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\dfrac{1}{2z+x+y}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{2y+z+x}+\dfrac{1}{2z+x+y}\le\dfrac{1}{16}\left[4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=\dfrac{1}{16}.4.4=1\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
11 tháng 12 2017
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{x+y}{4xy}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy.\)\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
21 tháng 3 2019
AM-GM:\(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{4\left(x+y\right)}=\frac{1}{x+y}\)hay\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(dpcm\right)\)
Xét (x+y)(1/x+1/y)=1+x/y+y/x+1
=2+x/y+y/x
Áp dung BĐT Cô-si với 2 số không âm
x/y+y/x ≥2√(xy/yx)=2
(x+y)(1/x+1/y)≥4=>1/x+1/y≥4/(x+y)
Dấu = xảy ra khi x=y
B, 1/(p-a)+1/( p-b)≥4/(2p-a-b)=4/c ,
Cmtt 1/(p-a)+1/(p-c)≥4/b ,1/(p-b)+1/(p-c)≥4/a
Cộng vế với vế ta có
2(1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c))≥4(1/a+1/b+1/...
Đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c
: Xét (x+y)(1/x+1/y)=1+x/y+y/x+1
=2+x/y+y/x
Áp dung BĐT Cô-si với 2 số không âm
x/y+y/x ≥2√(xy/yx)=2
(x+y)(1/x+1/y)≥4=>1/x+1/y≥4/(x+y)
Dấu = xảy ra khi x=y
B, 1/(p-a)+1/( p-b)≥4/(2p-a-b)=4/c ,
Cmtt 1/(p-a)+1/(p-c)≥4/b ,1/(p-b)+1/(p-c)≥4/a
Cộng vế với vế ta có
2(1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c))≥4(1/a+1/b+1/...
Đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c
hok tốt #