Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\)
\(A=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
\(A=\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right]\)
\(A=\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right]\)Thừa nhận cần c/m câu khác: \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\ne0\)
\(\Rightarrow A\ge\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right]=8\)
\(\Rightarrow A\ge8\forall_{a,b,c\ne0}\)=> dpcm
Đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|=1\\\left|b\right|=1\\\left|c\right|=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{matrix}\right.\) Không tin bạn thử a=b=c=-1<0 vào thử xem
Có một chút vần đề nha ĐK phải là a,b,c > 0 nhé
bài này ta sẽ chứng minh lần lượt \(a^2+\dfrac{1}{a^2};b^2+\dfrac{1}{b^2};c^2+\dfrac{1}{c^2}\)lớn hơn hoặc bằng 2
Ta sẽ giả sử
\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\)(2)
\(\Leftrightarrow a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\Leftrightarrow a^2-2a\times\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (1)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(*)
CMTT ta có : \(b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge2\) (=) b = 1 (**)
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}\ge2\) (=) c = 1 (***)
Nhân vế theo vế của (*) , (**) , (***) ta được
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right).\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2^3=8\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{2}\)
a) \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx\right)^2-2\cdot bx\cdot ay+\left(ay\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2=0\Rightarrow bx=ay\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\right)\)
b) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)
\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2acxz\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2-2bxay+a^2y^2+b^2z^2-2bzcy+c^2y^2+a^2z^2-2azcx+c^2x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\hept{\begin{cases}bx=ay\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}}\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\right)}\)
c) \(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
a, Tương đương : \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\) = \(a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\)
\(\left(ay-bx\right)^2\) = 0
\(ay-bx=0\)
\(ay=bx\)
\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\) dpcm
Câu b, c làm tương tự câu a
Bài làm :
Ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\left(2\right)\)
Thay (1) vào (2) ; ta được :
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{3}{abc}=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
=> Điều phải chứng minh
Ta có \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)
Ta lại có giả sử
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3.a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3.a^2b^2c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^3-3ca\left(ab+bc\right)\left(ab+bc+ac\right)-3ab^3c\left(-ac\right)-3a^2b^2c^2=0\)
\(\Leftrightarrow0+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2+0=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(lđ\right)\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Dễ thấy: \(a^2;b^2;c^2\ge0\forall a;b;c\) mà \(a;b;c\ne0\) nên chỉ có \(a,b,c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(c^2+\frac{1}{c^2}\ge2\sqrt{c^2\cdot\frac{1}{c^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\cdot2\cdot2=8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)