Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:
\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\); \(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
=> đpcm.
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Lời giải:
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)
Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)
Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
chứng minh bất đẳng thức \(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)vớia>0;b< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-a^2b-b^3>=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>=0\)(luôn đúng)
A)
\(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\\ \Leftrightarrow2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\)
\(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2AB\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2AB\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (1)
\(A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2BA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (2) Từ (1), (2) ta có: \(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\left(đpcm\right)\)
Với $a,b,c>0$ thì $a^3+b^3+3abc> ab(a+b+c)$ chứ không có dấu "=" nhé bạn. Còn về cách làm thì bạn Trương Huy Hoàng đã làm rất chi tiết rồi.
a3 + b3 + 3abc \(\ge\) ab(a + b + c)
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 3abc - a2b - ab2 - abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 2abc - a2b - ab2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2(a - b) - b2(a - b) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)(a2 - b2) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)2(a + b) + 2abc \(\ge\) 0 (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)
Chúc bn học tốt!
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
Có: \(VT-VP=\frac{\left(b^2+c^2-2a^2\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}a^2+3\Sigma_{cyc}ab\right)}{2a+b+c}\ge0\)
Done!