Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với $a,b,c>0$ thì $a^3+b^3+3abc> ab(a+b+c)$ chứ không có dấu "=" nhé bạn. Còn về cách làm thì bạn Trương Huy Hoàng đã làm rất chi tiết rồi.
a3 + b3 + 3abc \(\ge\) ab(a + b + c)
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 3abc - a2b - ab2 - abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 + 2abc - a2b - ab2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2(a - b) - b2(a - b) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)(a2 - b2) + 2abc \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a - b)2(a + b) + 2abc \(\ge\) 0 (luôn đúng với mọi a, b, c > 0)
Chúc bn học tốt!
Ta biến đối tương đương:
\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\)( chia hia vế cho số dương a+b)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\) là đúng.
*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*
Biến đổi thành
4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0
xét 4(a3+b3)-(a+b)3 =(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]
=3(a+b)(a-b)2 >=0
tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)
=> đpcm
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
chứng minh bất đẳng thức \(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)vớia>0;b< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-a^2b-b^3>=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>=0\)(luôn đúng)
Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).
Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:
\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\); \(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
=> đpcm.