Question

[Nguyễn Thành Nam]

Chứng minh:

1³³³¹+2³³³¹+3³³³¹+......+2020³³³¹ - 6 chia hết cho 11

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Áp dụng định lý Fermat nhỏ:

Với $a$ là số tự nhiên sao cho $(a,11)=1$ thì:

$a^{10}\equiv 1\pmod {11}\Rightarrow a^{3330}\equiv 1\pmod {11}$

$\Rightarrow a^{3331}\equiv a\pmod {11}$

Còn với mọi $a\vdots 11$ thì $a^{3331}\equiv a\pmod {11}$ (hiển nhiên)

Do đó:

$1^{3331}+2^{3331}+...+2020^{3331}\equiv 1+2+3+...+2020\equiv 1010.2021\equiv 9.8\equiv 6\pmod {11}$

$\Rightarrow 1^{3331}+2^{3331}+...+2020^{3331}-6\equiv 0\pmod {11}$

Ta có đpcm.