Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)
\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)
\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)
\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Do đó:
\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$
Ta có nhận xét sau:
\(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)
Tương tự với các phân thức còn lại
Ta đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)
Biểu thức P trở thành:
\(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)
Dễ thấy:
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Do đó:
\(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
Các biểu thức ở trong căn đều đưa được về bình phương
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}=\left|2\sqrt{x}+1\right|=2\sqrt{x}+1\)
Tương tự với hai căn còn lại ta sẽ có biểu thức đề cho tương đương với
\(2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left [\frac{9}{1-(xy+yz+xz)}+\frac{1}{4xyz}\right]\left [1-(xy+yz+xz)+9xyz\right ]\geq (3+\frac{3}{2})^2=\frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{4[1-(xy+yz+xz)+9xyz]}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow 1-(xy+yz+xz)+9xyz\leq 1\) $(2)$
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{81}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\)
Áp dụng BĐT BSC:
\(A=\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{49}{16}\)
\(minA=\dfrac{49}{16}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{1}{4}}{x}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{y}=\dfrac{1}{z}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{4}{7}\right)\)
;-;;; không làm theo B-S-C được không ạ ;-;;