Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biết trước điểm rơi rồi thì quá EZ.
\(P=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}\cdot\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}\cdot\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot\frac{c}{4}}+\frac{a+2b+3c}{4}\)
\(\ge13\)
Dấu "=" xảy ra tại a=2;b=3;c=4
Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)
Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
1/x + 36x ≥ 2.√(1/x . 36x) = 12 (đẳng thức xảy ra khi 1/x = 36x hay x = 1/6) (1)
4/y + 36y ≥ 24 (đẳng thức xảy ra khi 4/y = 36y hay y = 1/3) (2)
9/z + 36z ≥ 36 (đẳng thức xảy ra khi 9/z = 36z hay z = 1/2) (3)
Cộng vế 3 bất đẳng thức (1),(2),(3) lại được:
1/x + 4/y + 9/z + 36(x + y + z) ≥ 12+24+36=72
<=> 1/x + 4/y + 9/z ≥ 72 - 36(x + y + z) = 36 (vì x + y + z = 1)
Vậy GTNN S = 36 khi x = 1/6; y = 1/3; z = 1/2
Đúng thì tick nhé !
Bài: Cho x,y >0, x+y>=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 3x + 4y +\(\frac{5}{x}+\frac{9}{y}\)
\(A=3x+4y+\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{5}{4}x+\frac{5}{x}+\frac{9}{4}y+\frac{9}{y}+\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\)
\(\ge2\sqrt{\frac{5}{4}x.\frac{5}{x}}+2\sqrt{\frac{9}{4}y.\frac{9}{y}}+\frac{7}{4}.4\)
\(=5+9+7=21\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=2\).
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\). Vì x; y > 0 => \(\frac{x}{y}>0;\frac{y}{x}>0\). Áp dung BDT Cô - si có:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}=t^2-2\)
\(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2-2.\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}=\left(t^2-2\right)^2-2=t^4-4t^2+4-2=t^4-4t^2+2\)
Vậy \(A=t^4-4t^2+2-\left(t^2-2\right)+t=t^4-5t^2+t+4\)
=> \(A=\left(t^4-8t^2+16\right)+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3t^2+t-12=\left(t^2-4\right)^2+3\left(t^2-4\right)+t\ge2\)với mọi \(t\ge2\)
Vì \(t\ge2\) => \(t^2\ge4\Rightarrow t^2-4\ge0\)
Vậy Min A = 2 khi t = 2 <=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\) <=> x = y = 1
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3