Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si và Cauchy-Schwarz cho các số dương ta có:
$A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x+y}=2(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y})$
$\geq 2.\frac{4}{2x+x+y}=\frac{8}{3x+y}\geq \frac{8}{4}=2$
Vậy $A_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y; 3x+y=4\Leftrightarrow x=y=1$
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)
\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài
hình như dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1/x^2 với x^2 = y^2/4 mà bạn nhỉ
ĐK: \(y\ne0,xy\ge0\).
\(4x^2+9y^2=16xy\)
Chia cả hai vế cho \(y^2\)ta được:
\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+9=\frac{16x}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}\)
Với \(y>0\)thì \(x\ge0\)
\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}+1-\sqrt{\frac{x}{y}}=1\)
Với \(y< 0\)thì \(x\le0\):
\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}-y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{\frac{x}{y}}-1-\sqrt{\frac{x}{y}}=-2\sqrt{\frac{x}{y}}-1\)
\(=-2\sqrt{\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}}-1=-\left(1\pm\sqrt{7}\right)-1=-2\pm\sqrt{7}\)
TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc
Ta có: \(A=2013-xy\Leftrightarrow y=\frac{2013-A}{x}\)
Đặt \(2013-A=B\)thì ta có \(y=\frac{B}{x}\)(1)
Theo đề bài có
\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{B^2}{4x^2}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+B^2+1=0\)
Để PT có nghiệm (theo biến x2) thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow5^2-20\left(B^2+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2\le0,25\Leftrightarrow-0,5\le B\le0,5\)
\(\Leftrightarrow-0,5\le2013-A\le0,5\)
\(\Leftrightarrow2012,5\le A\le2013,5\)
Đạt GTLN khi \(\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-1;-\frac{1}{2},1\right)\)
Đạt GTNN khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2},1;-\frac{1}{2},-1\right)\)
\(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}+\left(2x\right)^2+y^2=4\)
\(\left(\left(2x\right)^2-\frac{1}{\left(2x\right)^2}\right)^2+\left(\left(2x\right)-y\right)^2=4-2\left(2x\right)y\)
\(VT\ge0\) đẳng thức khi: 2x=+-1; 2x=y;
\(\Rightarrow4-4xy\ge0\Rightarrow xy\le1\)
DS: x=+-1/2; y+-1