Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho \(xy=1\)và \(x,y>0\)
Tìm \(M_{max}=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
\(M=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(M=\frac{x^4}{x^6+1}+\frac{y^3}{y^6+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(x^6+1\ge2x^3=>\frac{x^2}{x^6+1}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{y^6+1}\le\frac{1}{2}\)
\(=>M\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=y=1\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(x^2+y^4\ge2xy^2\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy..........
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
Ta có xy=2 => \(y=\frac{2}{x}\)
ta có : M = \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}=\frac{1}{x}+x+\frac{3}{2x+\frac{2}{x}}+\frac{2}{\frac{2}{x}}-x\)= \(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{3}{2\left(\frac{1}{x}+x\right)}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta được :
M \(\ge2\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{x}+x\right)3}{\left(\frac{1}{x}+x\right)2}}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)
Dấu "="......
Vậy Min M = \(\sqrt{6}\) Khi ......
============
bấm đi bấm lại 2 lần , máy lỗi , phần tìm x,y bạn tự làm nhé
=========================
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\\ \)
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\) tương tự với y,z
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
=> ta đi tìm GTNN của (..)\(A=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
đặt x+1=a;y+1=b;z+1=c nội suy cho đỡ đau đầu a+b+c=4
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(*)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\)(*)
(*).(**)\(\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{9}{4}\Rightarrow A\ge\frac{9}{4}\Rightarrow P\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
DS: \(P_{max}=\frac{3}{4}\) đẳng thức khi a=b=c=> x=y=z=1/3
TA CÓ:
\(Q=\frac{x\left(\sqrt{x+zy}-x\right)}{x+yz-x^2}+\frac{y\left(\sqrt{y+zx}-y\right)}{y+zx-y^2}+\frac{z\left(\sqrt{xy+z}-z\right)}{z+xy-z^2}\)
\(=\frac{x\left(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}-x\right)}{x\left(x+y+z\right)+yz-x^2}+\frac{y\left(\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}-y\right)}{y\left(x+y+z\right)-y^2+zx}+\frac{z\left(\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}-z\right)}{z\left(x+y+z\right)+xy-z^2}\)
\(=\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}+\frac{y\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}-y\right)}{xy+yz+zx}+\frac{z\left(\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}-z\right)}{xy+yz+za}\)
ÁP DỤNG BĐT CÔ-SI TA ĐƯỢC:
\(Q\le\frac{x\left(\frac{x+y+z+x}{2}-x\right)}{xy+zx+yz}+\frac{y\left(\frac{x+y+z+y}{2}-y\right)}{xy+yz+zx}+\frac{z\left(\frac{x+y+z+z}{2}-z\right)}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{xy+zx}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{xy+yz}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{yz+zx}{2\left(xy+yz+zx\right)}=1\)
DẤU BẰNG XẢY RA \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)=4\)
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2.\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)
\(x^2+\frac{y^2}{4}\ge2.\sqrt{x^2.\frac{y^2}{4}}=2.\left|\frac{xy}{2}\right|=\left|xy\right|\)
=> \(4=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)\ge2+\left|xy\right|\)
=> \(\left|xy\right|\le2\Rightarrow xy\le2\)
Vậy Max (xy) = 2 khi |x| = 1 và |y| = 2.|x| = 2
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
với x,y dương, áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4.y^2}=2x.xy=2x\left(xy=1\right)\Rightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
tương tự thì: \(\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2}\)
=> (gọi là A đi ): \(A\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow x=y=1\)