K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
C
1
14 tháng 5 2021
+)Ta có : x4 + y4 < x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
Mà x > y > 1 ⟹ x - y > 0
⟹ ( x - y ) ( x4 + y4 ) < ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) ( * )
+)Ta có : ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 )
= x ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) - y ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 )
= x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 - x4y - x3y2 - x2y3 - xy4 - y5
= x5 - y5
⟹ ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) = x5 - y5 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
⟹ ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x5 - y5
Mà x5 - y5 < x5 + y5
⟹ ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x5 - y5
⟹ ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x - y
⟹ x4 + y4 < 1 ( đpcm )
NT
1
SL
0
NM
4
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
2 tháng 10 2020
Phương trình tương đương với \(x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
Ta có: \(x^2-4x-2=-y^2\le0\Rightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\)
Nhận xét: bài toán áp dụng biến đổi tương đương 1 pt, giả bpt bậc 2.
* Biến đổi tương đương 1 pt:
\(x^2+y^2-4x-2=0\Leftrightarrow x^2+y^2=4x+2\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-2=-y^2\left(2\right)\)
* BĐT:
Ta có: \(y^2\ge0\Leftrightarrow-y^2\le0\)kết hợp với (2) ta có: \(x^2-4x-2\le0\)
* giải bpt bậc 2:
\(x^2-4x-2\le0\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{6}-2\right)\left(x+\sqrt{6}-2\right)\le0\Leftrightarrow2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\)
* Biến đổi tương đương bpt:
\(2-\sqrt{6}\le x\le2+\sqrt{6}\Leftrightarrow10-4\sqrt{6}\le4x+2\le10+4\sqrt{6}\)
Kết hợp với (1) ta có \(10-4\sqrt{6}\le x^2+y^2\le10+4\sqrt{6}\left(\text{đ}pcm\right)\)
DN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\)
\(\Rightarrow xy\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2=4\left(xy\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{4\left(xy\right)^2\left(x+y\right)^2}=4xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)\)
26 tháng 10 2020
Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)
Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))