Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)^2-n^2\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}}{n}+\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}}{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+...+\frac{\sqrt{99}}{99}-\frac{\sqrt{100}}{100}\)
\(=1-\frac{\sqrt{100}}{100}=\frac{9}{10}< 1\)
+ \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó : \(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
Ta có:
\(\frac{1}{n\sqrt{\left(n+1\right)}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{\left(n+1\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thế vào ta được
\(\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
Dạng này có nhiều bạn hỏi rồi bạn. Bạn bấm vào CÂU HỎI TƯƠNG TỰ tham khảo nhé :)
Chứng minh phụ: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\) (trục căn thức ở mẫu)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n^2+2n+1-n^2-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào tính: \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\left(1+1\right)\sqrt{1}+1\sqrt{1+1}}+\frac{1}{\left(1+2\right)\sqrt{2}+2\sqrt{2+1}}+...+\frac{1}{\left(99+1\right)\sqrt{99}+99\sqrt{99+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)
= 1 - 1/ căn 100
=1 - 1/10
= 9/10
\(VT=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-1+\sqrt{100}=-1+10=9=VP\)
Xét bài toán tổng quát sau:
Chứng minh:\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1\) (*)
Thật vậy,xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\left(k\in\mathbb{Z}^+\right)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
Suy ra \(VT=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1\)
Vậy (*) đúng. Áp dụng kết quả (*) ta có đpcm.