Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)
\(\Rightarrow A=\frac{2.\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2.\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{2.\sqrt{2}.y}+\frac{2.\sqrt{3}.\sqrt{x-3}}{2.\sqrt{3}.x}\)\
\(\Rightarrow A\le\frac{z-1+1}{2z}+\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}.y}+\frac{z-3+3}{2\sqrt{3}.x}\) ( ÁP DỤNG BĐT CÔ-SI )
\(\Rightarrow A\le\frac{z}{2z}+\frac{y}{2\sqrt{2}.y}+\frac{z}{2\sqrt{3}.z}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
b, Gọi biểu thức đề ra là B
=> Theo bđt cô si ta có : \(B\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}\)
=> \(B\ge3\sqrt[3]{2\cdot\frac{x}{y}\cdot2\cdot\frac{y}{z}\cdot2\cdot\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{8}=6\)
( Chỗ này là thay \(x^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\frac{x}{y}\) và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Theo bđt cô si thì ta có : \(\sqrt{\left(x+y\right)\cdot1}\le\frac{x+y+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(z+x\right)\cdot1}\le\frac{z+x+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(y+z\right)\cdot1}\le\frac{y+z+1}{2}\)
=> Cộng vế theo vế ta được : \(A\le\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi : x+y+z=1 và x+y=1 và y+z=1 và x+z=1
=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy ...
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(VT\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
13x2−x4−−−−−−√=13αα2x2(1−x2)−−−−−−−−−−−√ 13αα2x2+(1−x2)2=13(α2−1)x2+132α
9x2+x4−−−−−−√=9ββ2x2(1+x2)−−−−−−−−−−−√ 9ββ2x2+(1+x2)2
S=13x2−x4−−−−−−√+9x2+x4−−−−−−√ [13(α2−1)2α+9(β2+1)2β]x2+132α+92β
Dấu bằng xảy ra khi:{α2x2=1−x2β2x2=1+x2(1)
Mục đích của ta là khử hết x2
do đó:13(α2−1)2α+9(β2+1)2β=0(2)
Giải (1)và(2) ta tìm được α=12;β=32.Lúc này:
S 132α+92β=16
Vậy Max của S=16,dấu bằng xảy ra khi (1)α2x2=1−x2 x=25√
13x2−x4−−−−−−√=13αα2x2(1−x2)−−−−−−−−−−−√ 13αα2x2+(1−x2)2=13(α2−1)x2+132α
9x2+x4−−−−−−√=9ββ2x2(1+x2)−−−−−−−−−−−√ 9ββ2x2+(1+x2)2
S=13x2−x4−−−−−−√+9x2+x4−−−−−−√ [13(α2−1)2α+9(β2+1)2β]x2+132α+92β
Dấu bằng xảy ra khi:{α2x2=1−x2β2x2=1+x2(1)
Mục đích của ta là khử hết x2
do đó:13(α2−1)2α+9(β2+1)2β=0(2)
Giải (1)và(2) ta tìm được α=12;β=32.Lúc này:
S 132α+92β=16
Vậy Max của S=16,dấu bằng xảy ra khi (1)α2x2=1−x2 x=25√