NH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 4 2017
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{xy+yz+zx}=xy+yz+zx\)
20 tháng 4 2017
Mơn alibaba Nguyen nha nhung có thể chỉ rõ ra b áp dụng bất đẳng thức nào đc k
TN
17 tháng 1 2017
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
TN
15 tháng 5 2017
Dự đoán \(x=y=z=1\) ta tính được \(A=6+3\sqrt{2}\)
Ta sẽ c/m nó là GTLN của A
Thật vậy, ta cần chứng minh \(Σ\left(2+\sqrt{2}-2\sqrt{x}-\sqrt{1+x^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{2\left(1-x\right)}{1+\sqrt{x}}+\frac{1-x^2}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}-\frac{x+1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)^2\left(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}-\frac{x+1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)
BĐT cuối đủ để chứng minh
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\ge\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2\)
Đặt \(1+x=2k\sqrt{x}\). Hence, theo Cauchy-Schwarz:
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\)
\(\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3x^2+10x+3\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3\left(4k^2-2\right)x+10x\right)2\sqrt{2}x\left(3k^2+1\right)\)
Mặt khác \(\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)\)
\(=2k\left(2k+2\right)x=4k\left(k+1\right)x\). Có nghĩa là ta cần phải c/m
\(3k^2+1\ge\sqrt{2}k\left(k+1\right)\Leftrightarrow\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-2\sqrt{k}+1\ge0\)
Nó đúng theo AM-GM
\(\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-\sqrt{2}k+1\ge\left(2\sqrt{3-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)k\ge0\)
Hơi đẹp nhỉ nhưng xong r` đó :D
LV
14 tháng 5 2017
bunyakovsky:
\(\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}.\sqrt{x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
tương tự :phần còn lại + thêm với\(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\)
TN
2 tháng 6 2017
Tui có cách khác đây, góp vui thôi thi đừng xài (bí lắm xài cx dc)
Dự đoán dấu "=" xảy khi \(x=y=z=1\) tính được \(P=3\)
Vậy cần chứng minh đó là GTNN của P
Thật vậy, tức là cần chứng minh
\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3+3x}{9+9y^2}+\frac{3+3y}{9+9z^2}+\frac{3+3z}{9+9x^2}\ge1\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{4x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2+9y^2}\ge\frac{3}{x+y+z}\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(7x^6+30x^5y+21x^5z-6x^4y^2+57x^4z^2+14x^3y^3+75x^4yz-6x^3y^2z+66x^3z^2y-258x^2y^2z\right)\ge0\)
BĐT cuối đúng vì \(Σx^6\geΣx^4y^2\) theo BĐT Rearrangement còn lại đúng theo AM-GM
P/s:dưới chân mỗi Σ bn ghi chữ "cyc" hộ mk nhé
SL
1 tháng 6 2017
Hướng giải nè:
P/s: đây là cách giải của bản thân mik nên chưa bt nó tối ưu chưa
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2.\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{y.\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)
bạn lm tương tự r cộng vào,,đánh giá nốt là ok
NM
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
27 tháng 5 2021
\(A=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(6=x+y+z+xy+yz+zx\le x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-3\right)\left(x+y+z+6\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)(vì \(x,y,z>0\))
Ta có: \(\frac{x^3}{y}+y+1\ge3x,\frac{y^3}{z}+z+1\ge3y,\frac{z^3}{x}+x+1\ge3z\)
Suy ra \(A\ge2\left(x+y+z\right)-3\ge2.3-3=3\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=1\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
Sửa đề: mẫu số cuối cùng là \(z+\sqrt{3z+xy}\) mới hợp lý
\(3x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Mà theo BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(x+y\right)\left(z+x\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{3y+zx}\ge\sqrt{yz}+\sqrt{xy}\) ; \(\sqrt{3z+xz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)