Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz
Ta có :
\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z
Nguồn : Đinh Đức Hùng
Từ \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\)\(x+y+z=xyz\)
Ta có : \(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự : \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\); \(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
Nên \(Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(Q=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{A.B}\le\frac{A+B}{2}\left(A,B>0\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi A = B :
Ta được :
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy GTLN của \(Q=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
Trong đó: a=xy; b=yz; c=zx
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{zy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge9\)(*)
Áp dụng BĐT Cô-si
\(x^2+y^2\ge2xy\left(x>0;y>0\right)\left(1\right)\)
\(y^2+z^2\ge2yz\left(y>0;z>0\right)\left(2\right)\)
\(z^2+x^2\ge2xz\left(x>0;z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (1);(2);(3) ta được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(**)
Từ (*);(**)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot A\ge\left(xy+yz+zx\right)\cdot A\ge9\)
\(\Rightarrow3A\ge9\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x=y=z\)
bài này esay thôi:
ta có \(x+y+z\le3\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le9.\)
Ta lại có:\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+zx+zy\right)\)
\(\Leftrightarrow9\ge3\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow3\ge xy+xz+yz\)
Ta có:
\(VT=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+zx+zy}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{2010}{xy+xz+yz}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2010}{xy+yz+xz}\)\(\ge\frac{9}{3^2}+\frac{2010}{3}=1+670=671\left(đpcm\right).\)
Dấu = xay ra khi \(x=y=z=1\)
Cho mình hỏi lầu trên cái, esay là gì thế? Bạn đánh nhầm từ easy phải không?
bạn làm đk câu này chưa ạ
nếu làm dk oy chỉ mik cách làm vs ạ