K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 8 2016
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau :\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x+y+z=3t\\y+z+t=3x\\z+t+x=3y\\t+x+y=3z\end{cases}\) => x = y = z = t
Thay vào P được : \(P=1+1+1+1=4\)
18 tháng 8 2016
Sao thủy
Sao kim
Trái đất
Sao hỏa
Sao mộc
Sao thổ
Sao thiên vương
Sao hải vương
31 tháng 3 2016
Bài này dễ mà bạn! Bạn chỉ cần chứng minh A nằm giữa 2 số tự nhiên liên tiếp là được !
Lời giải :
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1\)
\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(P+3\right)=\left(x+y+y+z+z+x\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
Do đó :
\(2\left(P+3\right)\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\cdot3\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
\(\Leftrightarrow2P+6\ge9\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
___
p/s: BĐT còn gọi là BĐT Nesbitt. Có nhiều cách chứng minh, bạn có thể lên gg tìm hiểu.
xin thêm 1 cách
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z>0\\b=z+x>0\\c=x+y>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{a+c-b}{2}\\z=\frac{a+b-c}{2}\end{cases}}\)Thay vào P ta được:
\(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}\)
\(=\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2c}+\frac{b}{2c}-\frac{1}{2}\)
\(=\left(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\right)+\left(\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}\right)+\left(\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}\right)-\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2a}.\frac{a}{2b}}=1\)
CMTT\(P\ge3-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)