Question

[Đức Hoàng]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), AQ vuông góc với BC, AM là phân giác của góc BAQ, AN là phân giác của góc CAQ (M,N thuộc BC). Kẻ BK vuông góc với AN (K thuộc AN), CH vuông góc AM (H thuộc AM). Gọi giao điểm của BK và CH là I. Chứng minh tam giác MIN vuông cân

Answer 1

[Lê Song Phương]

Hình bạn tự vẽ nhé, tại trên này chưa cho duyệt hình.

Ta thấy \(\widehat{BAQ}=\widehat{QCA}\) do chúng cùng phụ với \(\widehat{ABC}\)

Lại có \(\widehat{QAN}=\widehat{NAC}\) (do AN là phân giác của \(\widehat{QAC}\)) 

\(\Rightarrow\widehat{BAQ}+\widehat{QAN}=\widehat{QCA}+\widehat{NAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BNA}\) (vì \(\widehat{BNA}\) lá góc ngoài của tại N tam giác ACN)

\(\Rightarrow\Delta BAN\) cân tại B 

 Vì BK là đường cao của tam giác BAN cân tại B nên BK cũng là đường trung trực của tam giác BAN.

  Lại có \(I\in BK\) nên \(IN=IA\).

  Tương tự, ta cũng có \(IM=IA\) \(\Rightarrow IM=IN\left(=IA\right)\)

 \(\Rightarrow\Delta IMN\) cân tại I   (1)

  Kéo dài tia AI và đặt là Ax. Khi đó \(\widehat{MIx}=\widehat{IAM}+\widehat{IMA}\) (do \(\widehat{MIx}\) là góc ngoài tại I của tam giác IAM) \(=2\widehat{MAx}\) (vì tam giác IAM cân tại I nên \(\widehat{IAM}=\widehat{IMA}\))

 Tương tự, ta có \(\widehat{NIx}=2\widehat{NAx}\)

 \(\Rightarrow\widehat{MIx}+\widehat{NIx}=2\left(\widehat{MAx}+\widehat{NAx}\right)\)

 \(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MAN}\)

 Mà \(\widehat{MAN}=\widehat{MAQ}+\widehat{NAQ}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BAQ}+\widehat{CAQ}\right)=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=45^o\)

 Nên \(\widehat{MIN}=2.45^o=90^o\)    (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta IMN\) vuông cân tại I (đpcm)