Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: BC=BH+CH
=4+9=13
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH^2=4\cdot9=36\)
=>AH=6
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)
b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:
\(AH^2=AM.AB\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:
\(AH^2=AN.AC\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
Bài 2:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB,ta được:
\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)
\(\widehat{ANH}=90^0\)
\(\widehat{AMH}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=MN
Ta có: \(AM\cdot AB+AN\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2\)
\(=2AH^2=2\cdot MN^2\)
\(a,\text{Áp dụng PTG:}BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \text{Áp dụng HTL:}\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ b,\text{Áp dụng HTL:}\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot AB=AH^2\\AN\cdot AC=AH^2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c) Vì tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AMHN\) là hình chữ nhật
Ta có: \(\dfrac{S_{BMNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-S_{AMN}}{S_{ABC}}=1-\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\)
Ta có: \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AM.AN}{\dfrac{1}{2}.AB.AC}=\dfrac{AM.AN}{AB.AC}=\dfrac{AM.AB.AN.AC}{\left(AB.AC\right)^2}\)
\(=\dfrac{AH^2.AH^2}{\left(AH.BC\right)^2}=\dfrac{AH^4}{\left(AH.BC\right)^2}=\dfrac{AH^2}{BC^2}\)
Ta có \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\left(\dfrac{24}{5}\right)^2}{10^2}=\dfrac{144}{625}\Rightarrow\dfrac{S_{BMNC}}{S_{ABC}}=1-\dfrac{144}{625}=\dfrac{481}{625}\)
d) Ta có: \(\angle ANH+\angle AMH=90+90=180\Rightarrow AMHN\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle ANM=\angle AHM=\angle ABC\left(=90-\angle BHM\right)\)
\(\Rightarrow BMNC\) nội tiếp
\(\Rightarrow\) 4 đường trung trực của các đoạn thẳng BM,MN,NC,CB đồng quy
cho mình hỏi là câu d bài này có cách nào khác cách tứ giác nội tiếp không ?
a/
Xét tg vuông ABH
\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông ACH có
\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)
\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/
\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH
\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH
=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)
Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)
=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)
Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )
=> tg ABH đồng dạng với tg ACH
\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế
\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)
Xét tg vuông ABH
\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)
Xét tg vuông ACH, c/m tương tự
\(NH^2=CN.AN\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1)
(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)
Mà AM = NH; AN = MH (cmt)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)
Tự vẽ hình nhé
a) \(CM:AM.AB=AN.AC\)
`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`
\(AH^2=AM.AB\left(HTL\right)\left(1\right)\)
`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`
\(AH^2=AN.AC\left(HTL\right)\left(2\right)\)
`text{Từ (1) và (2)}` \(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(=AH^2\right)\)
b) \(CM:AM.AN=\frac{AH^3}{BC}\)
`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`
\(AH^2=AM.AB\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AM=\frac{AH^2}{AB}\left(3\right)\)
`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`
\(AH^2=AN.AC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AN=\frac{AH^2}{AC}\left(4\right)\)
`text{Xét ΔABC vuông tại H (gt), AM là đường cao (gt)}`
\(AB.AC=AH.BC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AH^3.AB.AC=AH^3.AH.BC\\ \Rightarrow AH^3.AB.AC=AH^4.BC\\ \Rightarrow\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3}{BC}\\ \Rightarrow\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^3}{BC}\\ \Rightarrow AM.AN=\frac{AH^3}{BC}\left(do\left(3\right)\left(4\right)\right)\)
c) `text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`
\(BH^2=BM.BC\left(HTL\right)\Rightarrow BM=\frac{BH^2}{AB}\left(5\right)\)
`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`
\(CH^2=CN.AC\left(HTL\right)\Rightarrow CN=\frac{CH^2}{AC}\left(6\right)\)
`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`
Và
`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`
\(AB^2=BH.BC\left(HTL\right)\\ AC^2=CH.BC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=BH.CH\\ \Rightarrow AB^3.CH=AC^2.BH\\ \Rightarrow AH^4.CH^2=AC^4.BH^2\\ \Rightarrow AB^3.CH^2.AB=AC^3.BH^2.AC\\ \Rightarrow AB^3.\frac{CH^2}{AC}=AC^3.\frac{BH^2}{AB}\\ \Rightarrow AB^3=CN=AC^3.BM\left(do\left(5\right)\left(6\right)\right)\)