Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Dễ thấy: ^CMN = 900 - ^ACB/2; ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 900 - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ
=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 900 (1)
Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 900 (2)
Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC
=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB
Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).
c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.
+) C/m : ^BAC = 900 => AR = AC ?
Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB
Do ^BAC = 900 => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:
\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).
+) C/m : AR = AD => ^BAC = 900 ?
Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)
=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông góc AC hay ^BAC = 900 (đpcm).
d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)
\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\)
\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)
\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)
Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.
a: góc ACF=1/2*sđ cung AF
góc BCF=1/2*sđ cung BF
góc ACF=góc BCF
=>AF=BF
mà OA=OB
nên OF là trung trực của AB
=>OF vuông góc BA tại M
góc ABE=1/2*sđ cung AE
góc CBE=1/2*sđ cung CE
góc ABE=góc CBE
=>AE=CE
mà OA=OC
nên OE là trung trực của AC
=>OE vuông góc AC tại N
b: góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON nội tiếp
Đặt \(\hept{\begin{cases}S_{OAB}=x\\S_{OBC}=y\\S_{OCA}=z\end{cases}}\)
Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ODB}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ODC}}=\frac{x+z}{y}\)
\(\Rightarrow\frac{R}{OD}=\frac{x+z}{y}\)
\(\Rightarrow OD=R.\frac{y}{x+z}\)
Tương tự, có: \(OD+OE+OF=R\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}R.\)(BĐT Nesbitt)
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC