Question

[Trần Vũ Minh Huy]

Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH , nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu B,C len đường kính AD của đường tròn O và M,N thứ tự là trung điểm cảu BC và AB.Chứng minh:

a)Bốn điểm A;B;H;E đều nằm treen đường tròn tâm N và HE//CD

b)M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABHE có 

\(\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^0\)

=>AEHB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB

=>A,E,H,B cùng thuộc (N)

Ta có: AEHB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BAE}+\widehat{BHE}=180^0\)

mà \(\widehat{BHE}+\widehat{EHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nen \(\widehat{EHC}=\widehat{BAE}\)

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{EHC}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EHC}=\widehat{BCD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên HE//CD

b: Gọi K là trung điểm của EC, Gọi I là giao điểm của MC và ED

Xét ΔBCE có

M,K lần lượt là trung điểm của BC,EC

=>MK là đường trung bình của ΔBEC

=>MK//BE

mà BE\(\perp\)AD

nên MK\(\perp\)AD

=>MK\(\perp\)ED

Ta có: MK\(\perp\)AD

CF\(\perp\)AD

Do đó: MK//CF

=>KI//CF

Xét  ΔECF có

K là trung điểm của EC

KI//CF

Do đó: I là trung điểm của FE

mà MK\(\perp\)EF tại I

nên MK là đường trung bình của EF

=>ME=MF

Xét ΔABC có

N,M lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>NM là đường trung bình của ΔACB

=>NM//AC và NM=AC/2

NM//AC

HE\(\perp\)AC

Do đó: MN\(\perp\)HE

Xét (N) có

NM là một phần đường kính

HE là dây

HE vuông góc với MN

Do đó: NM là trung trực của HE

=>MH=ME

=>MH=ME=MF

=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔHEF