Question

[Cô nàng Thiên Yết]

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G kẻ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía với đường thẳng d. Gọi AM, BN, CF là các đường vuông góc kẻ từ A,B,C đến đường thẳng d. C/m : AM = BN + CF

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Lấy P là trung điểm của BC;E là trung điểm của AG.Lần lượt lấy K,Q là hình chiếu của P và E xống đường thẳng d.

Do G là trọng tâm nên \(AG=\frac{2}{3}GP\Rightarrow EG=GP\)

Xét \(\Delta\)EKG và \(\Delta\)PQG có:\(EG=GP;\widehat{EGK}=\widehat{PGQ}\left(đ.đ\right);\widehat{EKG}=\widehat{PQG}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EKG=\Delta PQG\left(ch-gn\right)\Rightarrow EK=PQ\)

Xét \(\Delta\)AMG có EK//AM;E là trung điểm của AG nên K là trung điểm của MG 

=> EK là đường trung bình => \(EK=\frac{1}{2}AM\)

Do EK=PQ nên \(PQ=\frac{1}{2}AM\)

Xét tứ giác BNFC có \(\widehat{N}=\widehat{F}=90^0\) nên nó là hình thang.

Mà hình thang BNFC có PQ là đường trung bình nên \(PQ=\frac{BN+FC}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{2}=\frac{BN+FC}{2}\Rightarrow AM=BN+FC\left(đpcm\right)\)