Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi G là giao điểm của AM và BN.
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến: \(AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\);
\(BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}\).
Từ đó \(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\); \(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9}\).
Do đó \(AG^2+BG^2=\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{9}=\dfrac{9c^2}{9}=c^2=AB^2\).
Theo định lý Pythagoras đảo thì tam giác AGB vuông tại G.
Vậy góc giữa 2 trung tuyến AM và BN là 90o.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này có nhiều cách làm, vẽ thêm đường phụ cũng được, dùng định lý Menelaus cũng được nhưng lớp 10 thì nên dùng vecto
Ta có:
\(k=\dfrac{AG}{AB}=1-\dfrac{BG}{AB}=1-\dfrac{DE}{AB}=1-\dfrac{2DE}{3EF}\)
Đặt \(\dfrac{AD}{AM}=m\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=m\overrightarrow{EM}+\left(1-m\right)\overrightarrow{EA}\)
\(=m\left(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CM}\right)+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{2}{3}m\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)
\(=\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}\)
Lại có: \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
Mà \(D,E,F\) thẳng hàng nên:
\(\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}m.\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}EF\)\(\Leftrightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Do tam giác ABC là tam giác đều nên .
Theo định lý côsin trong tam giác ABM ta có:
b) Theo định lý sin trong tam giác ABM ta có:
c) Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 - 2 = 4 cm.
Gọi D là trung điểm AM.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa:
Gọi G là trọng tâm tam giác, P là trung điểm AB
Áp dụng công thức trung tuyến:
\(CP^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}=\dfrac{10c^2-c^2}{4}=\dfrac{9c^2}{4}\)
\(\Rightarrow CP=\dfrac{3c}{2}\Rightarrow GP=\dfrac{1}{3}CP=\dfrac{c}{2}=\dfrac{AB}{2}=AP=BP\)
\(\Rightarrow\widehat{AGB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB
\(\Rightarrow AM\perp BN\)
Xin phép được chia sẻ 1 cách giải để bạn tham khảo, em cám ơn thầy Nguyễn Việt Lâm luôn nhiệt tình giúp đỡ chúng em ạ
![Không có mô tả ảnh.](https://scontent.fhan4-2.fna.fbcdn.net/v/t39.30808-6/276138549_1116445869144321_1103927551479375290_n.jpg?_nc_cat=111&ccb=1-5&_nc_sid=dbeb18&_nc_ohc=VvJR1mE9x-sAX_O7JKl&tn=GdeqKPGDaeWS7fyI&_nc_ht=scontent.fhan4-2.fna&oh=00_AT_E9H5-PKD6vlV7YnDf0vNFvjbodYuNzCXeIt7GS3-WsA&oe=623CA944)