Question

[Thầy Cao Đô]

Cho phương trình: $x^2-(m+2)x+m+1=0$ (1)

a) Giải phương trình (1) với $m=-3$.

b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực $m$.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là $h=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Thay m=-3 vào (1), ta được:

\(x^2-\left(-3+2\right)x+\left(-3\right)+1=0\)

=>\(x^2-\left(-1\right)x-2=0\)

=>\(x^2+x-2=0\)

=>(x+2)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)

b: \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot1\left(m+1\right)\)

\(=m^2+4m+4-4m-4=m^2>=0\forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c:

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(m^2>0\)

=>\(m\ne0\)

Theo vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+1\end{matrix}\right.\)

Để x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) thì:

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{1}{h^2}=1:\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=1:\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{4}\)

=>\(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

=>\(\dfrac{\left(m+2\right)^2-2\left(m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

=>\(\dfrac{m^2+4m+4-2m-2}{\left(m+1\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

=>\(5\left(m+1\right)^2=4\left(m^2+2m+2\right)\)

=>\(5m^2+10m+5-4m^2-8m-8=0\)

=>\(m^2+2m-3=0\)

=>(m+3)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+3=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\left(nhận\right)\\m=1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

(1)\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

(1) có dạng a+b+c=0

\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=-2\)

b/

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(m+1\right)=\)

\(=m^2+4m+4-4m-4=m^2\ge0\forall m\)

=> (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m

c/

Để PT có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\Delta=m^2>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(a=\sqrt{x_1^2-h^2};b=\sqrt{x_2^2-h^2}\)

\(h^2=a.b=\sqrt{\left(x_1^2-h^2\right)\left(x_2^2-h^2\right)}\) BP 2 vế

\(\dfrac{16}{25}=\left(x_1^2x_2^2\right)-\dfrac{4}{5}x_1^2-\dfrac{4}{5}x_2^2+\dfrac{16}{25}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-\dfrac{4}{5}\left(x_2^2+x_2^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-\dfrac{4}{5}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(x_2x_2\right)^2-4\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2=0\) (2)

Áp dụng định lý viet

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+1\)

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+2\)

Thay vào (2) Giải PT bậc 2 nghiệm m