Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: ĐKXĐ: x>0; y>0
b: \(A=\left[\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right]:\dfrac{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x+y}{xy}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+y\sqrt{y}}\)
\(=\left(\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{xy}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy}\cdot\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)
Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi:
a.
\(\left(2m-4\right)x+m^2-9=0\) vô nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-4=0\\m^2-9\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=2\)
b.
\(x^2-2\left(m-3\right)x+9=0\) vô nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-3\right)^2-9< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m< 0\Rightarrow0< m< 6\)
c.
\(x^2+6x+2m-3>0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow\Delta'=9-\left(2m-3\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m>6\)
e.
\(-x^2+6x+2m-3>0\) với mọi x
Mà \(a=-1< 0\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
f.
\(x^2+2\left(m-1\right)x+2m-2>0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-2\right)=m^2-4m+3< 0\)
\(\Leftrightarrow1< m< 3\)
a, Biến đổi ta được E = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)
b, Ta có E = \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\) = \(1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\) .
. Nếu x không là số chính phương thì \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ . Suy ra E là số vô tỉ ( loại )
. Nếu x là số chính phươn thì \(\sqrt{x}\) là số nguyên nên để E có giá trị nguyên thì \(4⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\) .
Mà \(\sqrt{x}-3\ge-3\) nên \(\left(\sqrt{x}-3\right)\in\left\{-2;-1;1;2;4\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;2;4;5;7\right\}\Rightarrow x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)
Kết hợp với ĐKXĐ ta được x = 1 ; 16 ; 25 ; 49
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Ta có : \(9=a^2+a^2+b^2+a^2+b^2+bc+bc+c^2+c^2\ge9\sqrt[9]{a^6\cdot b^6\cdot c^6}=9\sqrt[3]{a^2\cdot b^2\cdot c^2}\Rightarrow abc\le1\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương : \(a^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{b^6}}=4\sqrt{\dfrac{a}{b^3}}\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{3}{b^2}}\ge2\cdot\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}\)
CM tương tự ta được: \(\sqrt{b^2+\dfrac{3}{c^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}};\sqrt{c^2+\dfrac{3}{a^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\Rightarrow P\ge2\cdot\left(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\right)\ge2\cdot3\cdot\sqrt[12]{\dfrac{a}{b^3}\cdot\dfrac{b}{c^3}\cdot\dfrac{c}{a^3}}=6\sqrt[12]{\dfrac{1}{\left(abc\right)^2}}=6\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
a) Đk x\(\ne0,-1,\dfrac{1}{2}\)
rút gọn: \(\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+6x-9x\left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}.\dfrac{x+1}{1-2x}\)
=\(\dfrac{x^2+3x+2+6x-9x^2-9x}{3x}.\dfrac{1}{1-2x}\)
=\(\dfrac{-8x^2+2}{3x}.\dfrac{1}{1-2x}\)
=\(\dfrac{2\left(1-4x^2\right)}{3x}.\dfrac{1}{1-2x}\)
=\(\dfrac{2\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{3x}.\dfrac{1}{1-2x}\)
=\(\dfrac{2\left(1+2x\right)}{3x}\)
b)tìm x để A=\(\dfrac{2+4x}{3x}>1\)
\(\Leftrightarrow2+4x>3x\)
\(\Leftrightarrow x>-2\)
c)tìm GTLN CỦA B=A.\(\dfrac{3x}{x^2+2}\)
B=\(\dfrac{2+4x}{3x}.\dfrac{3x}{x^2+2}\)
B=\(\dfrac{2+4x}{x^2+2}\)
B=\(\dfrac{2+4x}{x^2+2}-2+2\)
B=\(\dfrac{-2x^2+4x-2}{x^2+2}+2\)
B=\(\dfrac{-2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}+2\)
B=\(-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}+2\le2\forall x\in R\)
Dấu"=" xảy ra\(\Leftrightarrow x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(B_{max}=2\Leftrightarrow x=1\)
a) ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x+3\ne0\\x-3\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne-3\\x\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ne\pm3\)
b)
\(A=\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{18}{9-x^2}\) (ĐK: \(x\ne\pm3\) )
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)+1.\left(x+3\right)-18=0\\ \Leftrightarrow3x-9+x+3-18=0\\ \Leftrightarrow4x-24=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{24}{4}=6\left(TMĐK\right)\)