Question

[hdhfegfgf]

Cho p= 2.3.5.7.....n là tích n số nguyên tố đầu tiên

Chứng minh p+1 và p-1 không là số chính phương

Answer 1

[Trần Ngọc Định]

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p \(⋮\) 2 và p \(⋮̸\) (*)

Ta chứng minh p+1 là số chính phương :

Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m² ( m \(\in\) N )

Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m² lẻ => m lẻ

Đặt m = 2k+1 ( k \(\in\) N ) .

Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p+1 = 4k² + 4k + 1

=> p = 4k² + 4k = 4k( k + 1 ) \(⋮\)4 . Mâu thuẫn với (*)

Vậy giả sử phản chứng là sai tức p+1 là số chính phương .

Ta chứng minh p-1 là số chính phương .

Ta có : p = 2.3.5.7.... là số \(⋮\)3 => p-1 có dạng 3k+2

Vì không có số chính phương nào có dang 3k+2 nên p-1 không là số chính phương .

Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương => ( đpcm )