Question

[Duy Hùng]

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=a\(\sqrt{3}\) , SAB=SCB=90\(^o\) và khoảng cách từ A đến (SBC) bằng a\(\sqrt{2}\) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$

Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ SA\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AB\perp (SHA)\rightarrow AB\perp HA\)

Tương tự \(BC\perp HC\). Kết hợp với \(ABC\) vuông cân tại $B$ suy ra \(ABCH\) là hình vuông

Có \(AH\parallel (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=d(H,(SBC))\)

Kẻ \(HT\perp SC\). Có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ HC\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SHC)\Rightarrow BC\perp HT\)

Do đó \(HT\perp (SBC)\Rightarrow d(H,(SBC))=HT=\sqrt{\frac{SH^2.HC^2}{SH^2+HC^2}}=\sqrt{\frac{SH^2.AB^2}{SH^2+AB^2}}=\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{6}a\)

Từ trung điểm $O$ của $AC$ dựng trục vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Trên trục đó ta lấy điểm $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

\(IS^2=IA^2=IH^2\Leftrightarrow (\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HS})^2=IO^2+OH^2\)

\(\Leftrightarrow HS^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{HS}=0\)

Do \(\overrightarrow {SH}\parallel \overrightarrow {IO}\Rightarrow \overrightarrow {IO}=k\overrightarrow{SH}\). Thay vào PT trên có $k=\frac{1}{2}$

\(\Rightarrow IO=\frac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{3}a\)

\(\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2=12a^2\pi\)

Answer 2

[Hải Băng]

câu trả lời sai