Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
\(S_{SAM}=\dfrac{1}{2}S_{SAB}\Rightarrow V_{SAMC}=\dfrac{1}{2}V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Tam giác SAB vuông tại A nên AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{1}{2}\sqrt{SA^2+AB^2}=a\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AC\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AC\perp AM\)
Hay tam giác ACM vuông tại M
\(\Rightarrow S_{AMC}=\dfrac{1}{2}AM.AC=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(S;\left(AMC\right)\right)=\dfrac{3V_{SAMC}}{S_{AMC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\widehat{BAD}=120^0\Rightarrow\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC và ACD là các tam giác đều
\(AH=AC\Rightarrow AH=AC=AB\Rightarrow\Delta HBC\) vuông tại B
\(\Rightarrow HB\perp BC\Rightarrow HB\perp AD\)
Qua H kẻ đường thẳng \(d\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow S\in d\)
Gọi O là giao điểm AC và BD, do góc giữa (SBD) và đáy bằng 60 độ
\(\Rightarrow\widehat{SOH}=60^0\)
\(\Rightarrow SH=OH.tan60^0=\left(AH+AO\right).tan60=\left(a+\dfrac{a}{2}\right).tan60^0=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)
\(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a^3}{4}\)
b.
\(SC=\sqrt{SH^2+HC^2}=\sqrt{SH^2+\left(2AC\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{43}}{2}\)
\(\Rightarrow M\) là trung điểm SC \(\Rightarrow AM\) là đường trung bình tam giác SHC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM||SH\Rightarrow AM\perp\left(ABCD\right)\\AM=\dfrac{1}{2}SH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}\end{matrix}\right.\)
\(HD=\sqrt{OD^2+OD^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\Rightarrow SN=\dfrac{1}{3}SD\Rightarrow ND=\dfrac{2}{3}SD\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(S;\left(MAD\right)\right)\)
Mà \(SH||\left(MAD\right)\Rightarrow d\left(S;\left(MAD\right)\right)=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)
Gọi E là giao điểm BH và AD, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}HB\perp AD\left(cmt\right)\\AM\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AM\perp HB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow HB\perp\left(MAD\right)\)
\(\Rightarrow HE=d\left(H;\left(MAD\right)\right)\)
\(HE=\dfrac{1}{2}HB=\dfrac{1}{2}HD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(MAD\right)\right)=\dfrac{2}{3}HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow V_{AMND}=\dfrac{1}{3}.d\left(N;\left(MAD\right)\right).\dfrac{1}{2}AM.AD=\dfrac{a^3}{8}\)
1.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ thì do tam giác $DAB$ và $CAB$ cân tại $D$ và $C$ nên:
$DI\perp AB; CI\perp AB$
$\Rightarrow (DCI)\perp AB$
$\Rightarrow (DCI)\perp AI$ và $(DCI)\perp BI$
Do đó:
\(V_{ABCD}=V_{DAIC}+V_{DIBC}=\frac{1}{3}AI.S_{DIC}+\frac{1}{3}BI.S_{DIC}\)
\(=\frac{1}{3}S_{DIC}(AI+BI)=\frac{1}{3}S_{DIC}.AB=\frac{x}{3}S_{DIC}\)
\(DI=\sqrt{DA^2-AI^2}=\sqrt{DA^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}}\)
\(CI=\sqrt{AC^2-AI^2}=\sqrt{AC^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}}\)
$\Rightarrow DCI$ là tam giác cân tại $I$
Kẻ $IM\perp DC$ thì $M$ là trung điểm $DC$
$IM=\sqrt{DI^2-DM^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}-(\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}$
\(S_{DIC}=\frac{IM.DC}{2}=\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}.2\sqrt{3}:2=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{36-x^2}}{2}\)
Vậy: \(V_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{6}x\sqrt{36-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{x^2(36-x^2)}\)
\(\leq \frac{\sqrt{3}}{6}.\frac{x^2+36-x^2}{2}=3\sqrt{3}\) theo BĐT Cô-si
Vậy $V_{ABCD}$ max bằng $3\sqrt{3}$ khi $x^2=36-x^2$
$\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$
S
∆
A
B
'
C
'
=
1
2
B
'
C
'
.
A
B
'
=
1
2
.
c
2
a
2
+
c
2
.
b
a
2
+
b
2
+
c
2
.
c
a
a
2
+
c
2
Kẻ \(MH\perp CD\Rightarrow AMHD\) là hcn
\(\Rightarrow MH=AD=a\)
\(V_{SDCM}=\dfrac{1}{3}SA.S_{MCD}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}MH.CD=\dfrac{1}{6}.a.a.2a=\dfrac{a^3}{3}\)
b.
Trong tam giác vuông DAM, kẻ \(AE\perp DM\Rightarrow DM\perp\left(SAE\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDM) và đáy hay \(\widehat{SEA}=60^0\)
\(\Rightarrow AE=\dfrac{SA}{tan60^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{SADM}=\dfrac{1}{3}AM.\dfrac{1}{2}SA.AD=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
Kẻ \(AF\perp SE\Rightarrow AF\perp\left(SDM\right)\Rightarrow AF=d\left(A;\left(SDM\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AE^2}\Rightarrow AF=\dfrac{a}{2}\)