Question

[Hồ Thúy]

cho hàm số y=x-1/x+1 có đồ thị (C). tiếp tuyến đồ thị hàm số cắt trục Ox tại A,Oy tại B thỏa mãn OAB là tam giác cân tại O có phương trình là

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có \(y'=1+\frac{1}{x^2}\). Gọi \(a\) là hoành độ tiếp điểm. Khi đó, PT tiếp tuyến tại $a$ là:
\(y=\left (1+\frac{1}{a^2}\right)(x-a)+a-\frac{1}{a}+1\)

\(\Leftrightarrow y=\left (1+\frac{1}{a^2}\right)x+\frac{a-2}{a}\)\((d)\)

\(A=Ox\cap (d)\Rightarrow y_A=0\)

Có \(\left (1+\frac{1}{a^2}\right)x_A+\frac{a-2}{a}=y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{a(2-a)}{a^2+1}\) \(\Rightarrow A(\frac{a(2-a)}{a^2+1},0)\)

\(B=Oy\cap (d)\Rightarrow x_B=0\)

Có \(y_B=\left (1+\frac{1}{a^2}\right)x_B+\frac{a-2}{a}=\frac{a-2}{a}\) \(\Rightarrow B(0,\frac{a-2}{a})\)

Tam giác \(OAB\) cân tại $O$ nên

\(OA=OB\Leftrightarrow \) \(\left | \frac{a(2-a)}{a^2+1} \right |=\left | \frac{a-2}{a} \right |\)

Giải PT trên ta thu được \(a=2\), nghĩa là \(A,B\equiv O\) (vô lý) nên loại