Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(Q=\left(2x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)+\left(3y^2+\dfrac{3}{y^2}\right)+\left(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\right)\ge2.2+2.3+9=19\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
\(Q=2x^2+\dfrac{2}{x^2}+3y^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\)
\(Q\ge4+6+9=19\)
###Kaito###
Ta có : a-\(\dfrac{1}{a}-2=a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a-\dfrac{1}{a}\ge2\)
Q(x)=2x2+\(\dfrac{2}{x^2}+3y^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\)
=2(\(x^2+\dfrac{1}{x^2}\)) +3(\(y^2+\dfrac{1}{y^2}\))+(\(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\))
\(\ge2.2+3.2+9=19\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\)
Tìm GTNN của C = x+y
Đề bài sai, C không có giá trị nhỏ nhất
Nếu \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\) thì có thể tìm được min của C
\(Q=2x^2+\dfrac{6}{x^2}+3y^2+\dfrac{8}{y^2}=\left(2x^2+\dfrac{2}{x^2}\right)+\left(3y^2+\dfrac{3}{y^2}\right)+\left(\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{y^2}\right)\)
\(\ge2.2+2.3+9=19\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=1\)