Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Xét \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\)\(\dfrac{a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}\)\(=\dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4}\)\(=\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{4}\le0\forall a;b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) (bạn ghi sai đề?)
Dấu = xảy ra <=> a=b
b) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=a^{12}+a^{10}b^2+a^2b^{10}+b^{12}-\left(a^{12}+a^8b^4+a^4b^8+b^{12}\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) với mọi a,b
=> \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b
Có \(a^{12}+b^{12}=a^{12}+a^{11}b-a^{11}b+ab^{11}-ab^{11}+b^{12}\)
\(=a^{11}\left(a+b\right)+b^{11}\left(a+b\right)-a^{11}b-ab^{11}\)
\(=\left(a^{11}+b^{11}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\)
\(=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{12}+b^{12}\right)\)(vì giả thiết cho \(a^{10}+b^{10}=a^{11}+b^{11}=a^{12}+b^{12}\))
\(=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b-ab\right)\)
Đã chứng minh \(a^{12}+b^{12}=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b-ab\right)\)suy ra:
\(a+b-ab=1\)
=> \(a+b-ab-1=0\)
=> \(a-1-b\left(a-1\right)=0\)
=> \(\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)
=> \(a=1\)hoặc \(b=1\)
Nếu \(a=1\)thì từ giả thiết suy ra
\(b^{10}+1=b^{11}+1\)
=> \(b^{10}=b^{11}\)suy ra \(b^{10}\left(b-1\right)=b^{11}-b^{10}=0\)
Mà đề cho b dương =>\(b=1\)=>\(P=a^{20}+b^{20}=2\)
Nếu \(b=1\)thì từ giả thiết suy ra
\(a^{10}+1=a^{11}+1\)
=> \(a^{10}=a^{11}\)suy ra \(a^{10}\left(a-1\right)=a^{11}-a^{10}=0\)
Mà đề cho a dương =>\(a=1\)=>\(P=a^{20}+b^{20}=2\)
Ta có:
\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)=18\)
Suy ra \(P\le3\sqrt{2}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=1\).
Ta chứng minh điều ngược lại đúng mà đây là BĐT Nesbitt tìm trên mạng đầy cách c/m