Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu b: Xet tg vuông AEH và tg vuông ABC có
^BAH = ^ACB (cùng phụ với ^ABC)
=> Tg AEH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{AB}\) mà EH=AF (cạnh đối HCN)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
Câu c:
Ta có AM=BC/2==BM=CM (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg AMC cân tại M => ^MAC = ^ACB mà ^BAH = ^ACB (cmt) => ^MAC = ^BAH (1)
Ta có ^AHE = ^ABC (cùng phụ với ^BAH) mà ^AHE = ^HAC (góc so le trong) => ^ABC = ^HAC (2)
Gọi giao của AH với EF là O xét tg AOF có
AH=EF (hai đường chéo HCN = nhau)
O là trung điểm của AH vào EF
=> OA=OF => tg AOF cân tại O => ^HAC = ^AFE (3)
Từ (2) và (3) => ^AFE = ^ABC (4)
Mà ^ABC + ^ACB = 90 (5)
Từ (1) (4) (5) => ^MAC + ^AFE = 90
Xét tg AKF có ^AKF = 180 - (^MAC + ^AFE) = 180-90=90 => AM vuông góc EF tại K
Vì DPN+DQN=90o+90o=180o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp
=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)
Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6)
Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)
Tương tự ta có: EFN=PQN (8)
Từ (7) và (8) suy ra Δ N P Q ~ Δ N E F ( g . g ) = > P Q E F = N Q N F
Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có
N Q ≤ N F = > P Q E F = N Q N F ≤ 1 = > P Q ≤ E F
Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.
Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.
a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên AM*AB=AH^2
ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên AN*AC=AH^2
=>AM*AB=AN*AC
=>AM/AC=AN/AB
=>góc AMN=góc ACB
=>góc NMB+góc NCB=180 độ
=>NMBC nội tiếp
b: kẻ đường kính AL
góc ACL=90 độ
AC*AN=AH^2
ΔAIN đồng dạng với ΔACE
=>AI/AC=AN/AE
=>AI*AE=AH^2
góc ADE=90 độ
=>ΔADE vuông tại D
=>AI*AE=AD^2=AH^2
=>AD=AH
Vẽ đường tròn ngoại tiếp (O) của \(\Delta\)ABC. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở T.
Gọi HM cắt đường tròn (O) tại hai điểm K và D (K thuộc cung lớn BC), AH cắt (O) và (AEF) tại L và I (khác A).
Dễ chứng minh AD là đường kính của (O) và ^AKP = 900, suy ra K thuộc đường tròn (AEF)
Từ đó \(\Delta\)EKF ~ \(\Delta\)CKB (g.g). Dễ thấy ^IFE = ^IAE = ^LBC; ^IEF = ^IAF = ^LCB suy ra \(\Delta\)EIF ~ \(\Delta\)CLB
Do vậy \(\frac{KF}{KE}.\frac{IE}{IF}=\frac{KB}{KC}.\frac{LC}{LB}=\frac{KB}{KC}.\frac{DB}{DC}=\frac{KB}{KC}.\frac{DB}{BM}.\frac{CM}{DC}=\frac{KB}{KC}.\frac{KC}{KM}.\frac{KM}{KB}=1\)
Suy ra 2 tứ giác KFIE và KBLC điều hòa, dẫn đến K,I,S thẳng hàng và K,L,T thẳng hàng
Theo tính đồng dạng thì \(\Delta\)KIF ~ \(\Delta\)KLB và \(\Delta\)KFS ~ \(\Delta\)KBT kéo theo \(\Delta\)IKL ~ \(\Delta\)SKT (~\(\Delta\)FKB)
Vậy ST // IL, mà IL vuông góc với BC, T thuộc trung trực của BC nên S thuộc trung trực của BC hay SB = SC (đpcm).
a) CMR: Tứ giác DEIF là hình thoi:
Xét \(\Delta\)ADM: ^ADM=900, I là trung điểm AM => DI=AI=IM (1)
Xét \(\Delta\)AEM: ^AEM=900, I là trung điểm AM => EI=AI=IM (2)
Từ (1) và (2) => DI=EI (*)
Ta có: DI=AI (cmt) => \(\Delta\)AID cân tại I => ^IAD=^IDA hay ^IAD+^IDA=2.^IAD (3)
Tường tự: ^IAE=^IEA => ^IAE+^IEA=2.^IAE (4)
Nhận thấy: ^DIM là góc ngoài \(\Delta\)AID => ^DIM=^IAD+^IDA, thay (3) vào ta đc:
^DIM=2.^IAD (5)
^EIM là góc ngoài \(\Delta\)AIE = >^EIM=^IAE+^IEA, thay (4) vào ta đc:
^EIM=2.^IAE (6)
Từ (5) và (6) => ^DIM+^EIM=2.^IAD+2.^IAE => ^DIE=2.(^IAD+^IAE)=2.^DAE.
Mà ^DAE=^BAC/2=600/2=300 => ^DIE=2.300=600 (**)
Từ (*) và (**) => \(\Delta\)DIE là tam giác đều.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\Delta\)DIF đều => Tứ giác DEIF là hình thoi (đpcm).
b) Đề sai, mình không thấy M,H,K thẳng hàng
Sửa: CMR MH,DI.EF đồng quy.
Gọi S là trung điểm của AH. O là giao điểm của DI và EF (3*)
Xét \(\Delta\)AMH: I là trung điểm AM, S là trung điểm AH
=> IS là đường trung bình \(\Delta\)AMH => IS//MH (7)
Do tứ giác DEIF là hình thoi (cmt) => DI và EF cắt nhau tại trg điểm mỗi đường
=> O là trung điểm của DI và EF.
Xét \(\Delta\)SID: O là trung điểm DI, H là trung điểm SD (H là trực tâm và cũng là trọng tâm \(\Delta\)ABC)
=> OH là đường trung bình \(\Delta\)SID => OH//IS (8)
Từ (7) và (8) => M,O,H thẳng hàng (4*)
Từ (3*) và (4*) => DI,EF,MH đồng quy (đpcm).
Mình ghi nhầm, ID cắt EF tại k