Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
\(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC
Do đó: \(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=90^0\)
b:
Gọi M là giao điểm của BH với CK
Xét ΔHBC vuông tại H có \(\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90^0\)
=>\(\widehat{HBC}=90^0-\widehat{HCB}\)
=>\(\widehat{MBC}=90^0-\widehat{ACB}\)
Xét ΔKBC vuông tại K có \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)
=>\(\widehat{KCB}=90^0-\widehat{KBC}\)
=>\(\widehat{MCB}=90^0-\widehat{ABC}\)
Xét ΔABC có
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-45^0=135^0\)
Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^0\)
=>\(\widehat{BMC}=180^0-\left(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}\right)\)
\(=180^0-\left(90^0-\widehat{ABC}+90^0-\widehat{ACB}\right)\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=135^0\)
=>\(\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)
Xét (O) có
\(\widehat{CAD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD
\(\widehat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD
Do đó: \(\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)
Xét (O) có
\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB
\(\widehat{ECB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB
Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{ECB}\)
\(\widehat{EAB}+\widehat{CAD}=\widehat{ECB}+\widehat{DBC}\)
\(=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=45^0\)
\(\widehat{EAD}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAD}\)
\(=45^0+45^0=90^0\)
=>ΔEAD vuông tại A
ΔEAD vuông tại A
nên ΔEAD nội tiếp đường tròn đường kính ED
mà ΔEAD nội tiếp (O)
nên O là trung điểm của ED
=>E,O,D thẳng hàng
a) Có \(\widehat{BFC}=\widehat{CKB}=90^0\)
=> Tứ giác BCFK nội tiếp
b)Có \(\widehat{BCK}=\widehat{BFK}\)( vì tứ giác BCFK nội tiếp )
mà \(\widehat{BCE}=\widehat{BDE}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EB}\)
=> \(\widehat{BFK}=\widehat{BDE}\) mà hai góc nằm ở vị trí hai góc đồng vị
=> KF//DE
a) Ta có AD là đường cao của △ABC (gt)
=> AD⊥BC => \(\widehat{CDA} = 90^o\)
Tương tự ta có \(\widehat{CEB}=90^o \)
Tứ giác CEHD có : \(\widehat{CDA} + \widehat{CEB} = 90^o + 90^o = 180^o \) => Tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp => 4 điểm C,H,D,E cùng thuộc 1 đường tròn
b) △AEH và △ADC , có
\(\begin{cases} \widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90^o\\ \widehat{CAD} ( góc chung ) \end{cases} \)=> △AEH đồng dạng với △ADC ( g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC} \) ( tỉ số đồng dạng ) => AE.AC = AH.AD (1)
Ta có \(\widehat{AFC} = 90^o \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
△AFC vuông tại F , có FE là đường cao ( BF ⊥ AC tại E ) => \(AF^2\) = AE.AC ( hệ thức lượng ) (2)
Từ (1) và (2) => \(AF^2= AH.AD\)
a) Xét tứ giác AHIK có:
\(\widehat{AKI}+\widehat{AHI}=90^0+90^0=180^0\)
Nên tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn(đpcm)
b) Vì CI vuông góc với AB(I là trực tâm tam giác ABC) và BD vuông góc với AB(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CI // BD.
VÌ BI vuông góc với AC(I là trực tâm tam giác ABC) và CD vuông góc với AC(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BI // CD.
Xét tứ giác BICD có:
CI // BD; BI // CD
Nên tứ giác BICD là hình bình hành.
Suy ra, BC và DI cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đoạn.
Xét tam giác AID có:
O là trung điểm của AD và M là trung điểm của DI nên OM là đường trung bình của tam giác AID.
Suy ra, AI // OM. Mà AI vuông góc với BC(do I là trực tâm tam giác ABC) nên OM vuông góc với BC(đpcm).
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc EAH+góc ACB=90 độ
góc EBC+góc ACB=90 độ
=>góc EAH=góc EBC
b: AK cắt EF tại M
AK cắt BC tại N
AH cắt (O) tại K
=>HM//AB và QN//AB
=>HM//QN
d, từ C kẻ đường thẳng // với PM cắt AE,AB tại Q và K
lấy H là trung điểm của BC
=>OH vuông góc với BC
H và E cùng nhìn OP dưới 1 góc 90 =>tứ giác OHEP nội tiếp =>góc MPH = góc OEH mà góc MPH = góc KCH (PM//CK) =>góc KCH= góc OEH =>tứ giác HQCE nội tiếp =>góc QHC = góc AEC mà góc AEC = góc ABC =>góc QHC=góc ABC =>QH//AB mà H là trung điểm BC
=>Q là trung điểm CK
Áp dụng định lí TA-let ta được tam giác AMO đồng dạng tam giác AKQ =>MO/KQ=AO/AQ
cmtt NO/CQ=AO/AQ mà CQ=KQ =>OM=ON
Gọi L là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm HK.
Tam giác HAB vuông tại H có \(\widehat{HAB}=45^o\Rightarrow\Delta HAB\) vuông cân tại H
\(\Rightarrow HA=HB\) \(\Rightarrow\) H thuộc đường trung trực của AB
Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow\) O cũng nằm trên trung trực của AB
\(\Rightarrow\) OH là đường trung trực của đoạn AB.
\(\Rightarrow OH\perp AB\)
Mà \(LK\perp AB\) (do L là trực tâm tam giác ABC) nên OH//LK
Tương tự, ta chứng minh được OK//LH
\(\Rightarrow\) Tứ giác OHKL là hình bình hành.
Mà M là trung điểm HK \(\Rightarrow\) M cũng là trung điểm OL
Mặt khác, ta có \(\widehat{HAL}=\widehat{HBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\)) và \(\widehat{HBC}=\widehat{DBC}=\widehat{DAC}=\widehat{HAD}\) nên \(\widehat{HAL}=\widehat{HAD}\)
\(\Rightarrow\) AH là tia phân giác của \(\widehat{DAL}\).
Lại có \(AH\perp DL\Rightarrow\Delta DAL\) cân tại A
\(\Rightarrow\) Đường cao AH cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\) H là trung điểm DL
Do đó MH là đường trung bình của tam giác LOD
\(\Rightarrow\) MH//OD hay OD//HK
Tương tự, ta cũng chứng minh được OE//KH
\(\Rightarrow\) D, O, E thẳng hàng (tiên đề Euclid)
Ta có đpcm.