Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt AB=c;AC=b;BC=a
TH1:2BO.CO=BE.CF
Ta có △ABC có đường phân giác BE
\(\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{BC}{AB}\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AE+CE}=\dfrac{BC}{AB+BC}\Leftrightarrow\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{BC}{AB+BC}\Leftrightarrow CE=\dfrac{AC.BC}{AB+BC}=\dfrac{ab}{a+c}\)
Tương tự \(BF=\dfrac{ac}{a+b}\)
Ta có △BEC có đường phân giác CO
\(\Leftrightarrow\dfrac{BO}{OE}=\dfrac{BC}{EC}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{OE+BO}=\dfrac{BC}{EC+BC}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{a}{a+\dfrac{ab}{a+c}}\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{b+c}{a+b+c}\)
Tương tự \(\dfrac{CO}{FC}=\dfrac{a+c}{a+b+c}\)
Ta có \(2BO.CO=BE.CF\Leftrightarrow\dfrac{BO}{BE}.\dfrac{CO}{CF}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{b+c}{a+b+c}.\dfrac{a+c}{a+b+c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\Leftrightarrow c^2=a^2+b^2\)⇔△ABC vuông tại A
chứng minh ngược lại với TH1 trong TH2 là △ABC vuông tại A
Vậy △ABC vuông tại A⇔2BO.CO=BE.CF
a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF
Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)
hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)
a: Xét ΔABC vuông tại A có
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
hay AC=12(cm)
Xét ΔBAC vuông tại A có
\(\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{13}\)
\(\cos\widehat{ACB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}\)
\(\tan\widehat{ACB}=\dfrac{5}{12}\)
\(\cot\widehat{ACB}=\dfrac{12}{5}\)
a) Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
=> Đường kính là BC, Tâm là trung điểm của BC
Xét tứ giác BFHD có
\(\widehat{BFH}\) và \(\widehat{BDH}\) là hai góc đối
\(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: BFHD là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
=> Đường kính là BH và tâm là trung điểm của BH
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
góc DCH=góc HCB=góc HAB=1/2*sđ cung BK
=góc DCK
b: Xét ΔBEI và ΔBME có
góc BEI=góc BME(=1/2*sđ cung BK)
góc EBI chung
=>ΔBEI đồng dạng với ΔBME
=>BE/BM=BI/BE
=>BE^2=BM*BI