Question

[Nguyễn Minh Hằng]

Cho đa thức A(x)=x+x²+x³+...+x⁹⁹+x¹⁰⁰

^{a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của đa thức A(x)}

^{b)Tính giá trị của đa thức tại x=\(\dfrac{1}{2}\)}

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(A\left(-1\right)=\left(-1\right)+\left(-1\right)^2+...+\left(-1\right)^{99}+\left(-1\right)^{100}\)

\(=\left(-1\right)+1+...+\left(-1\right)+1\)

=0+...+0

=0

=>x=-1 là nghiệm của A(x)

b: \(A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\)

=>\(2\cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}\)

=>\(2\cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right)-A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}-\dfrac{1}{2}-...-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\)

=>\(A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1-\dfrac{1}{2^{100}}=\dfrac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a. 

$A(x)=(x+x^2)+(x^3+x^4)+....+(x^{99}+x^{100})$

$=x(x+1)+x^3(x+1)+....+x^{99}(x+1)$

$=(x+1)(x+x^3+....+x^{99})$
Tại $x=-1$

$A(-1)=(-1+1)(x+x^3+...+x^{99})=0$
$\Rightarrow x=-1$ là nghiệm của $A(x)$

b.

Tại $x=\frac{1}{2}$

$A=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{2^{99}})$

$\frac{1}{2^2}A=\frac{3}{2}(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+....+\frac{1}{2^{101}})$

$\Rightarrow A-\frac{1}{4}A=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{101}})$

$\Rightarrow \frac{3}{4}A=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{101}})$

$\Rightarrow A=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{101}})$