Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)
Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)
\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
\(S\ge0\), đẳng thức xảy ra khi a = b = 0.
Bài này chắc có vấn đề, đáng lẽ phải là tìm GTLN
Nè Phan Linh Nhi, mk ko hỉu cái chỗ: a+b\(\le2\). Bn có thể giải thích chi tiết cho mk đc ko??
Lời giải:
$a^2+b^2=a+b$
$\Rightarrow (a+b)^2-(a+b)=2ab\geq 0$
$\Rightarrow a+b\geq 1$. Do đó:
$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{2ab+a+b}{ab+a+b+1}\geq \frac{\frac{ab}{2}+\frac{a+b+1}{2}}{ab+a+b+1}=\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của $S$ là $\frac{1}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $(a,b)=(0,1)$ và hoán vị.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+4\geq 4b$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2a+4b-5$
$\Rightarrow P\geq 2a+4b-5+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}$
$=\frac{a+b}{9}+\frac{1}{a+b}+(\frac{b}{4}+\frac{1}{b})+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$=\frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq \frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}+\frac{131}{36}.2-5=\frac{35}{6}$
Vậy $P_{\min}=\frac{35}{6}$ khi $a=1; b=2$
Ta có : \(\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a-a^2}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}-\frac{a^2}{a+1}=a-\frac{a^2}{a+1}\)
Tương tự và cộng theo vế ta được : \(P=a+b+c-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)
\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\ge1-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Vậy GTNN của P = 3/4 đạt được khi a=b=c=1/3
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1