Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \({v_n} = {u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{n} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2n}}{n} = \frac{1}{n}\).
Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k = 1\), ta có: \(\lim {v_n} = \lim \frac{1}{n} = 0\).
b) \({u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{1} = 3,{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{2} = \frac{5}{2},{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{3} = \frac{7}{3},{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{4} = \frac{9}{4}\)
Biểu diễn trên trục số:
Nhận xét: Điểm \({u_n}\) càng dần đến điểm 2 khi \(n\) trở nên rất lớn.
a) \(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 = - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)
\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k
\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)
Số xấu thế nhỉ?
\(u_n=v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)
\(\Rightarrow v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=-\dfrac{1}{3+v_n+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}v_n}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+v_n}\end{matrix}\right.\)
\(v_n=\dfrac{1}{y_n}\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.\dfrac{1}{y_n}}{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2y_n\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{y_n}\right)}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n+2}\)
\(\Leftrightarrow y_{n+1}=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)y_n}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{1}{v_1}=\dfrac{2}{5-\sqrt{5}}\\y_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}y_n+\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
\(z_n=y_n+\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=y_1+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\z_{n+1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}z_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z_n:csn-co:\left\{{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\\q=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z_{n+1}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\)
\(\Rightarrow y_{n+1}=z_{n+1}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
\(v_{n+1}=\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)
\(u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\)
Xét:
\(u_{n+2}-u_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}+\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}\)
\(=\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}-\dfrac{1}{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{.....}\)
\(=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n\left(1-\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)}{....}=\dfrac{\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)^n.\left(-\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right)}{...}< 0\)
\(\Rightarrow\) dãy giảm
\(\Rightarrow u_1>u_2>....>u_n\)
\(\Rightarrow\lim\limits u_n=1\)
Bn tham khảo đây nhé: https://diendantoanhoc.org/topic/140204-t%C3%A0i-li%E1%BB%87u-d%C3%A3y-s%E1%BB%91/
Dãy ( u n + v n ) không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại ( u n + v n ) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số ( u n + v n ) v à ( u n ) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u n + v n − u n = v n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết ( v n ) không có giới hạn hữu hạn.
