Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chuyên gia sao lại đi hỏi ( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề.
Ta có
\(6=3.\frac{a^2}{3}+2.\frac{b^2}{2}+c^2\)
\(\ge6.\sqrt[6]{\left(\frac{a^2}{3}\right)^3.\left(\frac{b^2}{2}\right)^2.c^2}=6.\sqrt[6]{\frac{a^6b^4c^2}{3^3.2^2}}\)
\(\Rightarrow a^6b^4c^2\le3^3.2^2\)
Ta lại có:
\(P=3.\frac{a}{3bc}+4.\frac{b}{2ca}+5.\frac{c}{ab}\)
\(\ge12.\sqrt[12]{\left(\frac{a}{3bc}\right)^3.\left(\frac{b}{2ca}\right)^4.\left(\frac{c}{ab}\right)^5}\)
\(=\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{a^6b^4c^2}}\)
\(\ge\frac{12}{\sqrt[12]{3^3.2^4}.\sqrt[12]{3^3.2^2}}=2\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)
Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)
Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$b^2+c^2\geq 2bc$
$c^2+a^2\geq 2ac$
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$
Vậy GTLN của $P$ là $27$
Đặt \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}\right)\)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\)\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 1: Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{4a^2+2ab+4b^2}+\sqrt{4b^2+2bc+4c^2}+\sqrt{4c^2+2ca+4a^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{3\left(b^2+c^2\right)+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{3\left(c^2+a^2\right)+\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{2}\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{5}{2}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\frac{5}{2}\left(c+a\right)^2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\)\(=\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)=\sqrt{5}.2020\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2020}{3}\)
\(2P=6ab+2c\left(a+b\right)\)
\(2P=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6ab+2c\left(a+b\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(2P=3\left(a+b\right)^2+2c\left(a+b\right)+3c^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(2P=\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b\right)^2+2c^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(2P\ge-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge-54\)
\(\Rightarrow P\ge-27\)
\(P_{min}=-27\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=18\\a+b+c=0\\a+b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(-3;3;0\right);\left(3;-3;0\right)\)