Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a;b;c\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+1\ge a^2+1\\b^3+1\ge b^2+1\\c^3+1\ge c^2+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Sử dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) với \(xy\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^3}}\ge\frac{4}{1+abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) (1) với a; b \(\ge\)1
Thật vậy:
(1) <=> \(\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
<=> \(2+a^2+b^2+2ab+a^3b+ab^3\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
<=> \(a^3b+ab^3+2ab-a^2-b^2-2a^2b^2\ge0\)
<=> \(ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
<=> \(\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với a; b \(\ge\)1
Vậy (1) đúng
Áp dụng ta có:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+ab}+\frac{2}{1+c\sqrt{abc}}\)
\(=2\left(\frac{1}{1+\left(\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\sqrt{c\sqrt{abc}}\right)^2}\right)\ge2.\frac{2}{1+\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt{abc}}}=\frac{4}{1+\sqrt{abc\sqrt{abc}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt{abc.abc}}=\frac{4}{1+abc}\)
=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Ta có: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( BĐT AM )
Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " khi a = b = c = 1
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Đây nha! Vô tcn xem ảnh!
1.b
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-d\right)^2+\left(d-a\right)^2\ge0\) tong 4 so khong am luon dung
2 . ta có
\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
<=> x2-2xy+y2 ≥ 0
<=> x2+4xy-2xy+y2 ≥ 4xy
<=> x2+2xy+y2 ≥ 4xy
<=> (x+y)2 ≥ 4xy
CMTT
(y+z)2 ≥ 4yz
(z+x)2 ≥ 4zx
nhân các vế của bđt ta có
[(x+y)(y+z)(z+x)]2 ≥ 64x2y2z2
<=> (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz
Xét: a2 \(\ge\)a; b2 \(\ge\)b; c2 \(\ge\)c
\(\Rightarrow\)a2 + b2 + c2 \(\ge\)a + b + c \(\ge\)abc
ban duong huynh giang nham roi ban oi. a2\(\ge\)a khi a\(\ge\)1 thoi. Vi du \(\frac{1}{2}^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)(vo li)