DQ
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 11 2018
Ap dung bdt Cauchy-Schwarz dang Engel co:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{p-a+p-b}=\dfrac{4}{2p-a-b}=\dfrac{4}{c}\)
Tuong tu: \(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\);
\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\)
Cong theo ve cac bdt tren ta co:
\(2\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
=> Đpcm
LD
0
BN
18 tháng 3 2017
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau:(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)
Thật vậy : áp dụng bđt cô si ta có :a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
nhân vế theo vế ta được (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi:a=b=c
Áp dụng vào bài toán ta có:\(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}=p\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\)
=\([\left(p-a\right)+\left(p-b\right)+\left(p-c\right)]\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi :p-a=p-b=p-c
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy với a,b,c là độ dai 3 cạnh của 1 tam giác và chu vi bằng 2p thì \(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}\ge9\)
19 tháng 3 2019
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác nên
\(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)
Ta có : \(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)=\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\)
\(=\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{8}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}}{8}\)
\(\le\frac{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}.\frac{b+c-a+c+a-b}{2}.\frac{a+b-c+c+a-b}{2}}{8}\)
\(=\frac{\frac{2b}{2}.\frac{2c}{2}.\frac{2a}{2}}{8}=\frac{abc}{8}\)
Dấu "=" <=> tam giác đó đều
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 11 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
\(\text{VT}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+(ab+bc+ac)+\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}\)
\(\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+(ab+bc+ac)+\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{(ab+bc+ac).\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}}\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a+b+c)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c+(a+b+c)\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}.a.b.c}+(a+b+c)=6+a+b+c\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}\ge\dfrac{2}{a+1+a^2-a+1}=\dfrac{2}{a^2+2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)
Do \(abc=8\Rightarrow a^2b^2c^2=64\) , tồn tại các số thực dương x;y;z sao cho:
\(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(\dfrac{4x}{y};\dfrac{4y}{z};\dfrac{4z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{\dfrac{4x}{y}+2}+\dfrac{2}{\dfrac{4y}{z}+2}+\dfrac{2}{\dfrac{4z}{x}+2}=\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}\)
\(VT\ge\dfrac{x^2}{x^2+2xz}+\dfrac{y^2}{y^2+2xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\) (đpcm)
LS
18 tháng 9 2021
thầy ơi, sao chỗ Do abc = 8 ⇒ a2b2c2 = 64 lại suy ra các số thực dương x;y;z tồn tại được ạ?
OM
0
OM
1
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\le\dfrac{(p-a+p-b)^2}{4}=\dfrac{\left(2p-a-b\right)^2}{4}=\dfrac{c^2}{4}\)
\(\left(p-a\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{(p-a+p-c)^2}{4}=\dfrac{\left(2p-a-c\right)^2}{4}=\dfrac{b^2}{4}\)
\(\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{(p-b+p-c)^2}{4}=\dfrac{\left(2p-b-c\right)^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}\)
\(\Rightarrow\left[\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\right]^2\le\dfrac{a^2b^2c^2}{64}\)
\(\Leftrightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{abc}{8}\) (đpcm)